用泰勒展开证明,将 sin(wt) 和 cos(wt) 分别展开后加在一起就是 e^iwt 的展开式 ps:是 isin(wt)+cos(wt)=e^iwt

由欧拉公式e^jwt=coswt+jsinwt,e^-jwt=coswt-jsinwt得:sinwt=(e^jwt-e^(-jwt))/2j,则laplace变换:L[sinwt]=L[(e^jwt-e^(-jwt))/2j]=1/2j[1/(s-jw)-1/(s+jw)]=w/(s^2+w^2)

欧拉定理:e^(ix)=cosx+isinx.其中:e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非.

由欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx(e是自然对数的底,i是虚数单位)可以得到:e^(πi)=cosπ+isinπ=-1.e^ix=cosx+isinx的证明:因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-.

欧拉提出反三角函数的概念,并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数. 为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值.

arcsin(-x)=-arcsinx.

这个可以是描述交流电的 电压随着时间(t)变化:正弦变化(sin函数) w是频率

求f(x)=sinw0t的傅里叶变换(w0为了与w区分) 根据欧拉公式得sinw0t=(e^jw0t-e^(-jw0t)/(2j) 因为直流信号1的傅里叶变换为2πδ(w) 而e^jw0t是直流信号傅里叶变换的频移 所以e^jw0t的傅里叶变换为2πδ(w-w0),同理e^(-jw0)的傅里叶变换为2πδ(w+w0) 所以F(jw)=[πδ(w-w0)-πδ(w+w0)]/j

欧拉公式:e^(jx)=cos(x)+j*sin(x) e^[j(wt/2)]-e^[j(-wt/2)] =[cos(wt/2)+j*sin(wt/2)]-[cos(-wt/2)+j*sin(-wt/2)] =[cos(wt/2)+j*sin(wt/2)]-[cos(wt/2)-j*sin(wt/2)] =2j*sin(wt/2)

sin(wt)=[e^(jwt)-e^(-jwt)]/2;则单边拉普拉斯变换为:L[e^(jwt)]/2j-L[e^(-jwt)]/2j=[(s-jw)*j]/2-[(s+jw)*j]/2=w/(s^2+w^2)