• 什么叫棣莫弗公式？
• 数学归纳法证明棣莫弗公式.
• 用棣莫弗公式求cos4θ和sin4θ
• 怎么用棣莫弗公式证明1+cosα+cos2α+...+cosnα=(1/(sinα/2))sin(((n+1)α)/2)cos((nα)/2)？

什么叫棣莫弗公式？

棣莫弗公式　　复数乘方用三角表示式来解比较简便.

　　复数r(cosθ+isinθ)的n次方是：

　　z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)

　　n∈N.

　　复数开方也用三角表示式来解比较简便.

　　复数r(cosθ+isinθ)的n次方根是：

　　(n次根号r){cos[(θ+2kπ)/n]+isin[(θ+2kπ)/n]

　　(k=0,1,2,......). n∈N.

　　这两条公式叫做棣莫弗公式

　　棣莫弗公式证明:

　　先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx

　　将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：

　　e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……

　　sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……

　　cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……

　　将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式

　　应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n

　　=e^inx

　　=cos(nx)+isin(nx)

数学归纳法证明棣莫弗公式.

设复数z＝r(cosa＋isina),r>0,n∈N﹢.则z^n＝r^n﹙cosna＋isinna﹚被称之为棣莫弗公式.

我们用数学归纳法来证明。（注意，我们要用i²＝－1这个基本定义。）

n＝1时，有z＝r(cosa＋isina),————————①

设n＝k时命题成立，即z^k＝r^k﹙coska＋isinka﹚,

当n＝k+1时，z^(k+1)＝r^k·r(coska＋isinka)(cosa＋isina)

＝r^(k+1)﹛﹙coskacosa－sinkasina﹚＋i﹙sinkacosa＋coskasina﹚﹜

＝r^(k+1)﹛cos(k+1)a＋isin(k+1)a﹜,——————②

因为n是任意的正整数，所以由以上①②两步，可以断言：

命题得证。

用棣莫弗公式求cos4θ和sin4θ

解：①sinθ^3+cosθ^3=1=(sinθ+cosθ)(sinθ^2-sinθcosθ+cosθ^2)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ) 令x=sinθ+cosθ 则sinθcosθ=x^2-1/2 ∴原式可化为-x^3+3x-2=0 即-(x+2)(x-1)^2=0 ∴x=1或x=-2(舍) ∴sinθ+cosθ=1 ∴sinθcosθ=0 ②sinθ^4+cosθ^4=(sinθ^2+cosθ^2)^2。

怎么用棣莫弗公式证明1+cosα+cos2α+...+cosnα=(1/(sinα/2))sin(((n+1)α)/2)cos((nα)/2)？

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