可导一定连续 证明: 函数f(x)在x0处可导,f(x)在x0临域有定义, 对于任意小的ε>0,存在⊿x=1/[2f'(x0)]>0,使: -ε<[f(x0+⊿x)-f(x0)<ε 这可从导数定义推出

dy=f'(x0)ΔxΔy/dy=Δy/f'(x0)Δx=1/f'(x0)*Δy/Δx=1/f'(x0)*f'(x0)=1,所以等价

当然不可以考虑一个分段函数y=0,x≤0.y=x²sin(1/x),x>0.易证函数在x=0处连续左导数容易解决,y'左=0但右导数,根据定义来求:y'右=lim(x→0+)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0+)xsin(1/x)=0而如果先求导,得到y'=2xsin(1/x)+x²*cos(1/x)*(-1/x²)=2xsin(1/x)-cos(1/x)由於cos(1/x)在x→0+时极限不存在,所以lim(x→0+)f'(x)不存在那麽你用这种方法去求导数就错了.

|在函数 y=f(x)在点x0 处可导,有 lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) = f'(x0),于是 lim(x→x0)[f(x)-f(x0)] = lim(x→x0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0) = f'(x0)*0 = 0,即 f 在点x0处连续. 其逆不真.例如函数f(x) = |x|在x = 0点处连续但不可导. 以上几乎每一部教材都会有的,动手翻翻书就有,没必要在这儿提问.

是.因为n阶导数存在的前提是n-1阶可导.是.n-1阶可导表明n-1阶的邻域连续.而f(x0)n阶导数=【f(x0+δx)的n-1阶导数-f(x0)的n-1阶导数】/δx显然f(x0+δx)的n-1阶导数存在,即该函数在x0的邻域内n-1阶可导

证明:设x=x0+△x,则当x→x0时,△x→0 则 lim x→x0 f(x)= lim △x→0 f(x0+△x)= lim △x→0 [f(x0+△x)-f(x0)+f(x0)]= lim △x→0 [ f(x0+△x)?f(x0) △x ?△x+f(x0)]= lim △x→0 f(x0+△x) △x ?lim △x→0 △x+ lim △x→0 f(x0)=f′(x0)?0+f(x0)=f(x0) ∴函数f(x)在点x0处连续.

展开全部[f(x) - f(x0)] / (x - x0) 在 x→x0 时极限存在,而分母趋于 0,所以分子必趋于 0,也就是 lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] =0,所以 lim(x→x0) f(x) = f(x0),即函数在 x=x0 处连续.

f(x)在点x0处可导是f(x)在点x0处连续的(充分条件).可导一定连续,连续却未必可导.

首先判断函数在这个点x0是否有定义,即f(x0)是否存在;其次判断f(x0)是否连续,即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等;再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等,即f'(x0-).

最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性.如果是抽象函数或定义式较特殊的,就用定义证明任取一点处都具有可导性.f(x)=1+xg(x),而lim x->0 .