解: (α1,α2,α3,α4,β) = 1 1 1 1 1 0 1 -1 2 1 2 3 a+2 4 b+3 3 5 1 a+8 5 r3-2r1,r4-3r1 . a+1 0 当a≠-1时, β可由α1,α2,α3,α4唯一线性表示 此时, (α1,α2,α3,α4,β)--> 1 0 2 .

化成非齐次线性方程组 对增广矩阵做初等行变换 化为最简形 根据λ的不同取值 讨论方程组的解的情况 过程如下:

定理:a1,a2,.,an线性相关,a2,.,an线性无关,那么a1能由a2,.,an线性表示,且表示法唯一.证明:设a1=k2a2+k3a3+.+knan,且存在另一种表示法a1=m2a2+m3a3+.+mnan,两式相减得到(k2-m2)a2+(k3-m3)a3+.+(kn-mn)an=0,又因为a2,.,an线性无关,必有(k2-m2)=0,(k3-m3)=0,.. , (kn-mn)=0,于是k2=m2,k3=m3,..,kn=mn.由此得出两种表示法一样,即表示法是唯一的.

第(1)问 α1,α2,α3,组成的矩阵可逆,即行列式不为0时,表示唯一.原理是:系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时,有解 秩相等,且都小于3时,有无穷多组解 秩相等,且都是3时,有唯一解 秩不相等(此时系数矩阵行列式等于0,且系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩)时,无解

基础解系中的向量 是所有解向量的一个极大无关组 即 基础解系中的向量 都是解向量 基础解系中的向量作为一个向量组是线性无关的 齐次线性方程组的任一解可由基础解系中的向量唯一线性表示

0向量是大小为0而方向任意的向量,本身不具备唯一性.如果规定了0向量的方向,那么这个线性表示的向量坟是唯一的

因为有唯一一组值使他的表出式值为零

是的,一个更一般的结论:α1、α2、……、αr线性无关,α1、α2、……、αr、β线性相关,则β可由α1、α2、……、αr线性表示,且表示式唯一.

此话显然不对.以二维向量为例,记向量ai=(i,0),其中i=1,2,3,.,显然向量a1可由向量组{a1,a2,.,ai,.}线性表示,可是表示式么,可以有无穷种.

解: 问题即线性方程组 (a1,a2,a3)x=β 解的存在性.(a1,a2,a3,β) =1 1 -1 12 a+2 -b-2 30 -3a a+2b -3 r2-2r11 1 -1 10 a -b 10 -3a a+2b -3 r3+3r21 1 -1 10 a -b 10 0 a-b 0 .