x/sinx（x趋向0）的极限是否存在？
同样更加确切无疑的告诉你 第1个极限是1 它的倒数x/sinx也是1 如果课本真是那么写 那么 可能写错了
证明方法多种，夹逼原理不用提了，极限运算可以简单做出 x/sinx=1/（sinx/x） 运用极限运算法则 你说等什么.
2.1-cost—t^2/2因此 极限不村子啊
当什么情况时，可以使用x趋向于0时，sinx等价于x
就是求极限的时候，sinx 等价x， 两者可以互换。但x是用弧度表示的
sinx/x在x趋向于0时，能不能用洛必达法则
如果是求极限的话，那可以的。
洛必达法则使用的条件有3个。
1是分式求极限的上下两部分分别看作一个函数式时，这两个函数在x趋向于某数值时，都得为0或者都得为无穷。 也就是这里当x趋向于0时，必须满足sinx和x都为0，代入进去，当然都是0，所以满足，这是0比0或者无穷比无穷形式的第一个条件。
2是在去掉x的趋向值的定义域内，分数线上下的两个函数都必须要可导，且不为0，也就是在这个例子里，要满足，当x不取0的时候，sinx和x分别都有导数值，而且都不会是0，那当然也满足，这叫去心邻域内有意义。
3是这个分式的极限本身存在或者为无穷。也就是sinx/x这个东西本身是存在的。那这是基础定义。出题当然都不需要你具体证明，给出的题目肯定都有意义。
实际做题的时候，一般越简单的分式求极限，让你用洛必达法则的可能性越大，所以基本你都拿第一条，也就是看是不是0比0形式的极限去衡量基本就够了。较为复杂的那多半需要用到麦克劳林和泰勒展开级数去解了。
求极限时sinx可以直接代替x？
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当x->0时，sinx和x是等价无穷小。只在乘法和除法的时候可以替换。加减法不要替换。