定积分的收敛性
收敛。
首先0 所以 1>x(1-x)>(x(1-x))^2>...>(x(1-x))^n>0 随n增加是单减的。 于是积分也是单减的，所以收敛。 ∫(1→+∞) (arctanx)/x² dx = ∫(1→+∞) arctanx d(- 1/x) = (- arctanx)/x |(1→+∞) + ∫(1→+∞) 1/x d(arctanx) = - (- π/4) + ∫(1→+∞) 1/[x(1 + x²)] dx = π/4 + ∫(1→+∞) [(1 + x²) - x²]/[x(1 + x²)] dx = π/4 + ∫(1→+∞) [1/x - x/(1 + x²)] dx = π/4 + [ln(x) - (1/2)ln(1 + x²)] |(1→+∞) = π/4 + ln[x/√(1 + x²)] |(1→+∞) = π/4 + ln[1/√(1 + 1/x²)] |(1→+∞) = π/4 + ln[1/√(1 + 0)] - ln[1/√(1 + 1)] = π/4 + (1/2)ln(2) 分享一种解法，转化成积分形式、利用广义积分的敛散性定理求解。 显然，级数∑1/(n²lnn)的n=2,3，……，∞。∴级数∑1/(n²lnn)与∫(2,∞)dx/(x²lnx)具有相同的敛散性。 令lnx=t，∴∫(2,∞)dx/(x²lnx)=∫(ln2,∞)e^(-t)dt/t。 设f(t)=e^(-t)/t。∴lim(t→∞)t²f(t)=lim(t→∞)t/e^t=0。由广义积分的极限判别法，可知∫(ln2,∞)e^(-t)dt/t收敛。 ∴级数∑1/(n²lnn)收敛。 供参考。 令u = √x，u² = x，2u du = dx ∫(0→+∞) 1/[√x(1 + x)³] dx = ∫(0→+∞) 1/[u(1 + u²)³] 2u du = 2∫(0→+∞) du/(1 + u²)³ = 2[5x/(8(u² + 1)²) + 3x³/(8(u² + 1)²) + (3/8)arctan(u)] |(0→+∞) = 2 * (3/8)(π/2) = 3π/8求(arctanx/x2)dx在一到正无穷大上的定积分
级数1/n²lnn的敛散性
∫(上限+∞，下限0)1/√x(1+x)^3dx