若W是V的子空间 dimW=dimV 证明W=V

这里应该讨论的是有限维的吧?如果是你假设W的基为K1,……,Kn,然后根据基的扩充定理和条件dimW=dimV知K1,……,Kn也为V的基,所以有W=V;另解:把V对W做直和分解,V=W+U,则dimV=dimW+dimU,而条件dimW=dimV 所以dimU=0;从而U而0空间,所以W等于0的直空间即V

设V是一个向量空间,且V不等于{0},证明:V不可能表示它的两.

u and v={0} 证明 dim(u+v)=dim(u)+dim(v) 设 {u1,u2,.,uk} 是u的基,{v1,v2.,vr}是v的基,dim(u)=k ,dim(v)=r dim(u)+dim(v)=k+r.另一方面 u+v={z|z=u+v,u 属于 u,v 属于 v},因此 .

已知线性空间U是线性空间V的子空间,求证存在线性子空间W使.

定义:奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵,反之则为非奇异矩阵 两者的判断方法:首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵.若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵). 然后,再看此方阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵. 同时,由|A|≠0可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵. 如果A为奇异矩阵,则AX=0有无穷解,AX=b有无穷解或者无解.如果A为非奇异矩阵,则AX=0有且只有唯一零解,AX=b有唯一解.

如果空间u并v只包含零向量,证明空间u+v的维度等于空间u的维度加上空.

U And V={0} 证明 dim(U+V)=dim(U)+dim(V)设{u1,u2,.,uk} 是U的基,{v1,v2.,vr}是V的基,dim(U)=k ,dim(V)=r dim(U)+dim(V)=k+r.另一方面 U+V={z|z=u+v,u 属于 U,v 属于 V}.

现在有向量v和w相加

v一个三维向量,可以假定为3维空间的坐标点;而w为2维向量,可以假定为平面上的一个坐标点.虽然都是向量,但不是一致的,就像一个是三轮车,一个是自行车,虽然可以说是有两辆车(两个向量),但不能得出结论说是两辆三轮车,或者是两辆自行车.

线性代数证明作业 限维的子空间

这是线性空间子空间的一种判定方法:设v是数域p上的线性空间,w是v的子集,如果对任意的x、y属于w和任意的k属于p,有x+ky属于w,则w是v的子空间.证明也很简单:首先,0=x+(-1)x属于w;其次,令k=1,则w对加法封闭;最后,任务x属于w,k属于p,则x+(k-1)x=kx属于w 所以w是v的子空间

设W1,W2是向量空间V的子空间.证明:如果V的一个子空间既包含W1又包含.

设W1为(x1,x2.xn),W2为(y1,y2.yn).则由子空间的性质可知存在实数使x1=0,x2=0.xn=0...y1=0,y2=0.yn=0.(子空间包含零向量).既可以说存在实数使得x1+y1,x2+y2.xn+yn=0.且可以证w1+w2这一空间(x1+y1.xn+yn)对于加法,和与标量的乘法都封闭.即可以说空间w1+w2为V的子空间,所以v一定包含w1+w2.

α={v1,v2,…,vn}是向量空间V的基础,β={w1,w2,…,wm}是向量空.

利用子空间定义, 设任取a=a1+a2,b=b1+b2属于w1+w2,这里a1,b1 属于w1,a2,b2属于w2,则a+b=a1+a2+b1+b2,因为w1,w2是子空间,所以a1+b1属于w1,a2+b2属于w2,从而a+b属于w1+w2;对任意k属于数域f,任取a=a1+a2,则ka=ka1+ka2,因为w1,w2是子空间,所以ka1属于w1,ka2属于w2,所以ka属于w1+w2;所以w1+w2是v的子空间

设n是正整数,V是数域P上的一个n维线性空间,W1.W2都是V的子空间,而且.

先取V的一组基{e},这样就可以用具体的坐标来描述所有的东西假定m=dim(W1), k=dim(W2)=n-m, 只需讨论m和k都非零的情况,余下的是平凡的取W1的一组基,这组基在{e}下的坐标表示是一个nxm的矩阵X取W2的一组基,这组基在{e}下的坐标表示是一个nxk的矩阵Y再取关于z的线性方程组Y^T*z=0的基础解析Z,Z是一个nxm的满秩矩阵那么A=X*Z^T满足要求

求解高等代数 设V是n维线性空间,0<r<n.证明:V可以表示成一个r维子空.

设a1,a2,.,an是V的一组基,则把基向量分成两组a1,a2,.,ar,和ar+1,ar+2,.,an他们分别生成一个r维子空间,V1=L(a1,,a2,,.,ar)和一个n-r维子空间V2=L(ar+1,ar+2,.,an),于是V等于这两个字空间的直和.这是因为对V中的任意向量,都可以唯一的表示为V1中的一个向量及V2中的一个向量的和.