矩阵通过合同变换变换出的对角阵对角线上的数字就是特征值吗,由e变换出的C矩阵列向量为特征向量吗

通过合同变换,得到P^TAP=D 对角阵上的数字不一定是特征值,除非P满足正交矩阵

合同变换得到的对角矩阵对角线上的元素可以为0吗?为什么?与正交变换在这点上又有何区别?

当然可以,而且化成对角阵之后对角线上是否出现零和合同变换的选取无关,是矩阵本身固有的性质(见惯性定理).至于正交变换,只不过是特殊的合同变换,对于对角线上零元的问题而言没有任何不同,但是需要注意的是非零元会有区别.用正交变换对角化后得到的对角元是矩阵的特征值,而普通的合同变换只能保证对角元的符号,数值大小则可以随意调节,所以实对称矩阵a在正交相似变换(正交合同变换)下的标准型是以a的特征值为对角元的对角阵(除了次序之外没有任何松动余地),而普通合同变换的标准型的对角元则只是一批正数、一批负数、还有一些零(习惯上把所有正数取1,负数取-1).

是不是任意一个矩阵都可以通过初等变换变成对角阵

这个说法不正确,初等变换不会改变矩阵的行数与列数,如果矩阵不是方阵,是不可能通过初等变换化为对角阵的.但对于方阵来说,一定可以通过初等变换化为对角阵的.例如方阵的等价标准形就是一个对角阵.

化矩阵为对角矩阵

先求出A'A如上所示 显然通过合同变换,可以化成对角阵,如上所示 相应矩阵P=1 0 0 00 1 0 00 0 1 -4/50 0 0 1

“所有的矩阵都可以合同对角化” 怎么证明?

首先,A一定要是对称矩阵,否则没希望.对于对称矩阵,只要用Gauss消去法就可以了,如果过程中对角元出现0但该列非零,那么作用一个旋转变换就可以了.

将普通矩阵化为上三角矩阵那上三角矩阵对角线上的数就是矩阵的特征值吗

应该是的,根据|A-bE|,对角线元素复合这个条件

与对角形矩阵合同的矩阵是不是一定是对角形矩阵

与对角矩阵合同的矩阵一定是对称矩阵但不一定是实矩阵

方阵都能合同于对角阵吗?为什么?

线性代数范围内, 合同的概念来源于二次型的线性变换 所以这里的方阵一般指的实对称矩阵 它必合同于对角矩阵.方法有: 配方法, 特征值法

将矩阵对角化是相当于通过初等变换,把除对角线以外的元素都变为零吗

对角矩阵的对角线元素的和就是矩阵特征值的和 而特征值的和等于矩阵的迹,即矩阵对角线元素的和 所以实对称矩阵对角线元素的和等于它对角矩阵对角线元素的和

一个上三角形矩阵,且其主对角线上的数都相等,说明这种矩阵为什么不能转化成对角矩阵.

首先,n*n的矩阵A对角化的要求是存在n个线性无关的特征向量,也就是说特征向量张成整个n维空间. 一个上三角形矩阵,且其主对角线上的数都相等(假设为c),那么这个三角矩阵的特征值只有一个,就是c(重根).假设特征向量是x,则Ax=cx,推出(A-cI)x=0,(I是单位矩阵),也就是说特征向量构成矩阵A-cI的null space,除非你的上三角矩阵本来就是对角矩阵,否则的话A-cI的null space不可能是整个n维空间(只有全0矩阵的null space才是整个空间),可就是说你的这个上三角矩阵不可能有n个线性无关的特征向量,所以不能对角化~