求∫上限1 下限1/2 e^(-√2x-1)dx的积分

∫(1/2->1) e^(-√2x-1) dx=-(1/√2) [e^(-√2x-1)](1/2->1)=-(1/√2) [ e^(-√2-1) - e^(-√2/2 -1) ]

用分部积分法求定积分:(∫上1下0)x^2 e^x dx

(∫上1下0)x^2 e^x dx=(x²-2x+2)e^x在[0,1]的端点值差=e-2 (用两次分部积分法降低被积函数中x的次数.)

用分部积分法求∫e^√xdx

分部积分先e底,再三角,再……∫arcsine^x/e^xdx = ln(1-√(1-e^2x)) - 2x - e^(-x)arcsin(e^x) + c

用分部积分法去∫x∧2/√(x∧2-1)dx

∫x²/√(x²-1)dx=1/2∫x/√(x²-1)dx²=∫xd√(x²-1)= x√(x²-1)-∫√(x²-1)dx= x√(x²-1)-∫(x²-1)/√(x²-1)dx= x√(x²-1)-∫x²/√(x²-1)dx+∫1/√(x²-1)dx2∫x²/√(x²-1)dx=x√(x²-1)+∫1/√(x²-1)dx

计算定积分∫ x(1-2x)^2 √1-x^2 dx 下限-1,上限1

∫ [-1,1]x(1-2x)^2 √(1-x^2) dx =∫ [-1,1](x+4x^3-4x^2) √(1-x^2) dx =-∫ [-1,1]4x^2√(1-x^2) dx =-2∫ [0,1]4x^2√(1-x^2) dx 然后只有用三角代换了x=cost,dx=-sintdt,x=0,t=π/2,x=1,t=0=-2∫ [π/2,0]4cos^2tsint*(-sint)dt=2∫ [π/2,0]sin^2(2t)dt=∫ [π/2,0][1-cos(4t)]dt=[t-sin(4t)/4][π/2,0]=-π/2

用换元法计算定积分∫【0到ln2】(e^2){√[(e^2)-1]}dx

原题是∫[0→ln2] e^(2x) * √[e^(2x) - 1] dx吧?令y = e^(2x)、2x = lny、x = (1/2)lny、dx = (1/2)(1/y) dy当x = 0、y = 1当x = ln2、y = 4原式 = ∫[1→4] y√(y - 1) * [(1/2)(1/y) dy]= (1/2)∫[1→4] √(y - 1) dy= (1/2)∫[1→4] √(y - 1) d(y - 1)= (1/2)(2/3)(y - 1)^(3/2) |[1→4]= (1/3)(4 - 1)^(3/2) - 0= 3^(- 1) * 3^(3/2)= 3^(3/2 - 1)= √3

求定积分1到2 e的2X次方dx

∫e^√(2x)dx=1/2∫e^√(2x)d√(2x)²=∫√(2x)e^√(2x)d√(2x)=∫√(2x)de^√(2x)=√(2x)e^√(2x)-∫e^√(2x)d√(2x)=√(2x)e^√(2x)-e^√(2x)+c

∫e∧√(2x+1)dx

令√(2x+1)=t,则dx=d(t²-1)/2 = tdt 原式=∫ t(e^t)dt = ∫ t d e^t 分部积分 = t(e^t) -∫ (e^t)dt= (t-1) e^t +C = ( √(2x+1) -1) e^√(2x+1) +C

用分部积分法计算定积分 几分区间(0,1) 2x 乘以根号下(1-x^2) 乘.

∫(0~1) 2x√(1 - x²)arcsinx dx令x = siny,dx = cosy dy,√(1 - x²) = √(1 - sin²y) = cosyx∈[0,1] → y∈[0,π/2]= ∫(0~π/2) 2ysinycosy • cosy dy= -2∫(0~π/2) ycos²y dcosy= (-2/3)∫(0~π/2) y dcos³y= (-2/3)[ycos³y] + (2/3)∫(0~π/2) cos³y dy= (2/3)∫(0~π/2)∫ (1 - sin²y) dsiny= (2/3)[siny - 1/3 • sin³y] |(0~π/2)= (2/3)(1 - 1/3)= 4/9

用分部积分法计算下列定积分

,∫(e,1)xlnxdx=1/2∫(e,1)lnxdx²=1/2*x²lnx(e,1)-1/2∫(e,1)x²dlnx=1/2*x²lnx(e,1)-1/2∫(e,1)x²*1/xdx=1/2*x²lnx(e,1)-1/2∫(e,1)xdx=[1/2*x²lnx-x²/4](e,1)=e²/2-e²/4+1/4=(e²+1)/4