这个证明和平面一样.首先有一个基本结论:空间向量数量积满足分配律a·(b+c)=a·b+a·c 设空间向量三个单位正交基为i、j、k向量(单位正交基的概念应该清楚吧,就是x、y、z轴正方向的三个单位向量) a=(x1,y1,z1)实际上就是a=x1 i+y1 j+z1 k b=(x2,y2,z2)实际上就是b=x2 i+y2 j+z2 k a·b=(x1 i+y1 j+z1 k)·(x2 i+y2 j+z2 k)用上面讨论的分配律展开,注意三个单位正交基互相点乘是0(因为它们互相垂直),自己和自己点乘是1(因为是单位向量).可得a·b=x1x2+y1y2+z1z2

公式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2.资料扩展:1.数量积的性质 设a、b为非零向量,则 ①设e是单位向量,且e与a的夹角为θ,则e·a=a·e=|a|cosθ ②.

这是向量的加法运算,只要将对应坐标相加即可 3+2+x=0 4-5+y=0 得x=-5,y=1 所以,坐标为(-5,1)

向量A与向量B的数量积=向量A的模乘以向量B的模乘以向量A和向量B夹角的余弦值,-----------------其结果是实数 实数a与向量B的积=a倍向量B,是一个新的向量,大小=a倍向量B的模,方向与向量B相同,-----------------其结果是一个向量

以下全为向量 BC=AC-AB 所以原式=AP*(AC-AB)+BP*CA+CP*AB=AP*AC-AP*AB+BP*CA+CP*AB=AP*AC-AP*AB+PB*AC-PC*AB =(AP+PB)AC-(AP+PC)AB=AB*AC-AC*AB=0

数量积AB=ac+bd 向量积要利用行列式 若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),则 向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2 向量a*向量b= | i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-b2c1,c.

向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 数量积ab=x1x2+y1y2+z1z2 向量a模长公式=√(x1²+y1²+z1²) a,b垂直等价于ab=0 即 x1x2+y1y2+z1z2=0

||||λ (λa)*b=|λa||b|cosθ=λ|a||b|cosθ a*(λb)=|a||λb|cosθ=λ|a||b|cosθ λ(a*b)=λ|a||b|cosθ 所以(λa)*b=a*(λb)=λ(a*b) (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λa=(λx1,λy1),λb=(λx2,λy2),﹙λa﹚*b=λx1*x2+λy1*y2 a*﹙λb﹚=x1*λx2+y1*λy2 所以,﹙λa﹚*b=a*﹙λb﹚

这是可以运算的,(a,b)点乘(c,d)得到(ac,bd)再点乘(e,f)得到(ace,bdf)因此(a,b)·(c,d)·(e,f)=(ace,bef)

两种方法:1)根据a*b=|a||b|cos2)根据坐标公式,我们假设a(x1,y1),b(x2,y2) a*b=x1x2+y1y2