高数，这个极限怎么算
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解：(1) 令 t=3/x,
则 当 x→∞ 时, t→0,
且 x =3/t.
所以 lim (x→∞) x sin (3/x) =lim (t→0) 3 sin t /t
=3.
(2) 因为 |sin x|<=1,
所以 sin x 为有界量.
又因为 lim (x→∞) 1/x =0,
所以 1/x 为当 x→∞ 时的无穷小量.
所以 lim (x→∞) sin x /x =0.
综上, lim (x→∞) [ x sin (3/x) +sin x /x ] =3.
= = = = = = = = =
重要极限
lim (u→0) sin u /u =1,
但是,
lim (u→∞) sin u /u =0.
因为有界量乘以无穷小量，等于无穷小量。
可以作出 y=sin x 和y=x 的图象，再比较 x→0 和x→∞ 时的情况.
高数各种求极限方法
高等数学经典求极限方法
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求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
x41
例1：求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2．分子分母同除求极限
x3x2
例2：求极限lim3
x3x1
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；
0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4：求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键
4．应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5：求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑数部分。
1
，最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。 xxxxa
xx
5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx； 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．
xln(1x)
x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8：求极限lim
x0tan3x
例7：求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
2/7
6．用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9：求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x
lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于
x
f(xt)dt
xtu0
x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim
x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)
x
=lim
x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)
=lim
x0
x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)
高等数学中求极限有哪几种方法？
求极限的常用方法：
1。函数的连续性
2。等价无穷小代换
3。“单调有界的数列必有极限”定理
4。有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量
5。两个重要极限（sinx/x=1,e）
6。级数的收敛性求数列极限
7。罗必塔法则
8。定积分的定义
求极限 这个极限怎么求 高等数学
这个要将分母中的n次幂分开进行结算，然后带有n次方的用重要极限，后面的极限为零。