极限,理解为“无限接近但不相等” 理解保号性,先理解这句话“无论连续函数上两点之间的距离有近(不等于0),这个函数上这两点之间仍有无穷多个点”.如果f(x1)>0,则,在0和x1之间,仍有无穷多个x,使得f(x)>0

我们已经知道,函数y=f(x)当x→∞时以A为极限,就是当|x|无限增大时,y=f(x)无限趋近于常数A,也就是说,只要|x|充分大,可使|f(x)-A|任意小,用数学语言来表达,就是下面的“ε-M”定义.定义:设有函数y=f(x),A是一个常数,如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正数M,当|x|>M时,|f(x)-A|

函数极限可以用如下方法定义:设f(x)在实数x0的一个去心邻域U(x0, δ0)上(就是区间(x0 - δ0, x0 + δ0)去掉x0点这个集合之上)有定义, 如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 和一个实数A, 使得当|x - x0| A (x -> x0)

一般有几个方法阿,可以用定义,不过得先找到极限才能用定义证明.不需要知道极限就能证明存在性的就是柯西准则.还有有时候可以用归结原则证明/ 例如:证明lim(1/n)=0,n->infi(无穷大) 公式字母没法打,参看《高等数学》高教社版,同济大学编

设函数在点的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数(无论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常.

设函数y=f(x)在点X0的某个去心邻域中有定义,即存在ρ>0,使 O(X0,ρ)\{X0}.如果存在实数A,对于任意给定的ε>0,都可以找到δ>0,使得当0│f(x)-A│则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限,记作 f(x)→A(x→+∞).例y=1/x,x→+∞时极限为y=0 函数极限是高等数学最基本的概念之一,导数等概念都是在函数极限的定义上完成的.极限符号可记为lim

|用极限的定义来求极限就是了啊,定义法求极限一般是已知极限值的情况下才用的.令|函数-极限值|=一普舍了,把自变量对一普舍了的关系找出来,然后再拿那个长尾巴的圈符号去代.就可以证明对于所有x属于u(x,长尾巴的圈)都有|函数-极限值|<一普舍了 详细点可以看教材,里面很清楚!

你看函数极限的定义 :“对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0所以关键是构造一个与ε相关的δ 相当于 ε 是自变量 δ是因变量是你需要确定的 使得 0

f(x)是定义在(a,b)上的函数,x0是(a,b)中的一点,如果对于任意q>0,存在p>0和一个常数a, 当ix-x0i<p时,if(x)-ai<q 我们就定义f(x)在x0有极限a 例题 f(x)=2x是定义在(-∞,+∞)上的函数,1是(-∞,+∞)中的一点,对于任意q>0,存在一个常数a=2 要使if(x)-ai<q,即i2x-2i<q,ix-x0i=ix-1i<q/2 取p=q/2 即可 因为对于任意q>0,存在p=q/2 >0 和一个常数a=2 当ix-x0i=ix-1i<p=q/2 时, if(x)-ai=i2x-2i=2ix-x0i=2ix-1i<2 q/2 =q 所以 f(x)=2x在1点有极限而且极限为2

证题的步骤基本为: 任意给定ε>0,要使|f(x)-A|<ε,(通过解这个不等式,使不等式变为δ1(ε)<x-x0<δ2(ε)为了方便,可让ε值适当减少),取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε),于是 对于任意给定的ε>0,都找到δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε . 即当x趋近于x0时,函数f(x)有极限A 例如证明f(x)=lnx在x趋于e时,有极限1 证明:任意给定ε>0,要使|lnx-1|<ε,只须-ε说明一下:1)取0<|x-e|,是不需要考虑点x=e时的函数值,它可以存在也可不存在,可为A也可不为A.