卡方分布例题及解析
(X1-2X2)服从N（0,20）,（3X3-4X4）服从N（0,100）,要是Y服从卡方分布,即a*(X1-2X2)^2要服从标准正态分布N（0,1）,所以a=1/20,同理,b=1/100,所以Y服从 卡方(2),自由度为2.
卡方分布期望值为什么是n
设X=X1²+X2²+X3²+·····Xn² 即X服从自由度为n的卡方分布 E(X)=E(X1²)+E(X2²)+E(X3²)+·····E(Xn²) 又因为X1····Xn服从标准正态分布
所以E（X1²）=∫（上下限分别为±∞）（x²f（x）dx 【f(x)是标准正态分布的概率密度函数】然后把这个积分求出可以得E(X1²)=1 所以E(X)=E(X1²)+E(X2²)+E(X3²)+·····E(Xn²)=n
扩展资料
为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从分布
在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照 分布的定义，应该服从参数为 的 分布。
如果将总体中的方差σ2 用样本方差 s2代替，它是否也服从 分布呢？理论上可以证明，它是服从 分布的，但是参数 不是 n 而是 n-1 了，究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和
我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1。
简介编辑
分布在数理统计中具有重要意义。 分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K．Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义
若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和 构成一新的随机变量，其
卡方分布
分布规律称为分布（chi-square distribution），其中参数 称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度 很大时， 分布近似为正态分布。
对于任意正整数x， 自由度为 的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
参考资料：搜狗百科 卡方分布
卡方分布的期望和方差
1.设X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2 其中Yn都是独立的而且服从N(0,1)
那么X服从自由度为N的卡方分布
那么D(X)=D(Y1^2)+D(Y2^2)+...+D(YN^2) 因为Yn独立
=2N 因为D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2
其中标准正态分布的四阶期望是3 要么通过公式得出E(Y^n)=(2n)!/(n!2^n) 其中Y是标准正态随机变量 n是奇数 如果n为偶数时E(Y^n)=0 要么直接算 算法是分步积分法
或者可以直接计算卡方分布的方差 很好计算 因为自由度为N的卡方分布其实是系数为N/2,1/2的Gamma分布 而Gamma函数的性质让我们很容易计算出X的任何阶期望 具体方法是:
X的n次方期望 就是密度函数乘x^n积分 这时你把x^n放进密度函数你的积分函数里面就得到x的N/2-1+n次方也就是说系数从N/2变成了N/2+n 同样你把分式下面的Gamma函数和1/2^(N/2)提到积分外部 然后添加需要的系数(使得该式变为系数为N/2+n和1/2的Gamma分布 对1积分为一)然后除以你添加的系数 最后积分外部的所有系数就是你的x^n的期望了
2.设X服从N(0,1)Z服从自由度为N的卡方分布 X和Z独立 那么D(T)=E(T^2)-E(T)^2 其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0
所以D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)
其中E(X^2)=1 E(1/Z)=1/(N-2) (通过密度函数计算 同第一题 卡方分布的1/2次方期望可以很容易求出)
所以D(T)=N/(N-2)
对了 自由度为k的卡方分布的密度函数是
你对比这个函数更好看懂我的回答
概率论中的 卡方分布的密度函数是如何推导的
如果总体服从正态分布N(μ,σ^2)，则(n-1)S^2/σ^2服从自由度为n-1的卡方分布，从而D[(n-1)S^2/σ^2]=2(n-1)，可由此间接求出D(S^2)。
连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开zd区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。
扩展资料：
若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本版统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1。
由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函权数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。
参考资料来源：百度百科--概率密度函数
参考资料来源：百度百科--卡方分布