为什么导函数的面积等于函数的y值
导函数也就是连续函数的斜率,这个斜率所表达的意义即原函数上Y与X的比值.导函数投影到X轴上与X轴所形成的面积也就是由原函数上的斜率乘以X值,也就是原函数的Y值
把导数定义里增量换成增量的平方，结果是多少？为什么？
1、既然改成增量的平方，那定义里面的分子分母，都必须更改。
2、如此更改定义的结果，其实就变成了定义导数的平方了，例如，
按照这样定义，x² 的导数就成了 4x² 。
3、至于这样的定义有没有具体的几何意义、物理意义，就不得而知了。
不过按照我们的思维习惯、文化习惯，这样的标新立异，注定会被
我们的文痞学风骂得狗血喷头。
4、如果楼主已经发现什么了什么新的意义、价值，就勇敢地研究下去！
即使作为纯理论的研究，也是无可厚非的。本题至少起到两个作用：
一是检查我们对导数定义的真正理解程度；二是测试我们的理性极限。
导函数在一定区域内围成的面积（x轴上方面积-x轴下方面积）能否反映原函数对应y值的变化量？
当然，除非你算错了。
导函数就是dy/dx，围成的面积就是d y/ d x 乘以 d x，然后定积分，得到的就是y在终点处的值减去起点处的值。注意面积也是有正负的。
导函数与函数之间的关系
设函数在点x。的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时，相应地函数取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点x。处的导数，也可记作f′(x)〡x=x.，或f′(x.)。
若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。
导函数的定义表达式为：
值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。
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