高数 简单的拉格朗日中值定理题 12题
拉格朗日中值定理题
拉格朗日中值定理，是说函数F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，则在开区间内存在克赛，使得
拉格朗日中值定理例题
(1)证明： e^x > ex (x>1)
证明：设f(x)=e^x ，则f(x)在区间[1，x]上连续，在区间(1，x)内可导，
由拉格朗日中值定理，存在c∈(1，x)，使f(x) - f(1)=f '(c)(x -1)，即e^x -e=e^c(x -1) ，
因为c>1，所以e^x -e=e^c(x -1)>e(x -1)，即e^x >ex。证毕。
(2)证明 b - a > 1/a -1/b (其中b>a>1)
证明：设f(x)=1/x ，则f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，
由拉格朗日中值定理，存在c∈(a，b)，使f(b) - f(a)=f '(c)(b -a)，即1/b -1/a = -c^(-2)(b -a)，
因为c>a>1，所以1/b -1/a = -c^(-2)(b -a)<b -a。
说明，注意不等式(2)b - a >1/a -1/b中右边通分得1/a -1/b=(b - a)/ab
所以不等式(2)即 1>1/ab， 即 ab>1，显然成立。
希望采纳~~~
求数学高手用拉格朗日中值定理解一道题
这题题目没出好，第2问应该加上a>0的条件
在a>0的条件下求导易得f''(x)<0, f'''(x)>0，所以f是凹函数，x1和x2之间有且仅有一个c满足f'(c)=0
然后以c为中心做一下Taylor展开
0=f(x1)=f(c)+f''(c)(x1-c)^2/2+f'''(ξ)(x1-c)^3/6
0=f(x2)=f(c)+f''(c)(x2-c)^2/2+f'''(η)(x2-c)^3/6
注意f'''(ξ)(x1-c)^3/6<0
至于为什么要加a>0的条件
首先，a=0时f单调，不可能有两个根
而a<0时f''有一个正根，若f不单调则会出现增，减，增的趋势，除非A或者B是切点，否则交点个数不是1个就是3个
如果B是切点的话问题还不大，但如果A是切点的话结论就不成立了（用跟上面同样的方法证明）
所以这是题目本身的毛病
当然，从练习的角度讲只要会证a>0的情况就掌握了所有要点