重心:在三角形中,三条中线交于一点,该点叫做这一三角形的重心.性质:三角形的重心把每一条中线分成两部分,这两部分之比为2:1,即重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的二倍. 外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心.也是三角形外接圆的圆心 .性质:三角形的外心到各顶点的距离相等. 垂心:在一个三角形中,三条边上的高(或其延长线)交于一点,该点叫做这一三角形的垂心. 内心:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.也是三角形内切圆的圆心.性质:内心到两边的距离相等. 旁心:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.旁心就是三角形旁切圆的圆心.

1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、内心到三角形三边距离.

三角形的重心是三条边的中线的交点

(用解析几何的方法证) 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为: (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2.

1,设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平方和为: (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^.

重心把中线分为2:1的两部分 如上图 AD,BE分别是BC,AC边的中线,它们交于O点 则O是三角形的重心 连接DE,DE是三角形的中位线,所以DE平行且等于AB/2 则三角形ABO相似三角形DEO 所以AO/DO=AB/DE=2

设三角形为ABC重心为G三条中线为AD,BE,CF则向量AD=1/2(向量AB+向量AC)向量BE=1/2(向量BA+向量BC)向量CF=1/2(向量CA+向量CB)所以向量AD+向量BE+向量CF=0同理向量GD+向量GE+向量GF=0因为向量AG+向量BG+向量CG+向量GD+向量GE+向量GF=向量AD+向量BE+向量CF所以向量AG+向量BG+向量CG=0所以向量AG=向量GB+向量GC=2向量GD所以重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1……为什么样用向量呢

设,三顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 则重心O[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3] 向量OA=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3] 向量OB=[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3] 向量OC=[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3] 则,向量OA+向量OB+向量OC=[x1-(x1+x2+x3)/3,y1-(y1+y2+y3)/3]+[x2-(x1+x2+x3)/3,y2-(y1+y2+y3)/3]+[x3-(x1+x2+x3)/3,y3-(y1+y2+y3)/3]=(0,0) 即得证

用内定比分点公式, 线段AB内有一点M,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) |AM|/|MB|=λ, 则x0=(x1+λx2)/(1+λ), y0=(y1+λy2)/(1+λ), 设三角形三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 取AB.

从中间点向三边作垂线 用勾股定理将中间点到三角形三顶点距离的平方和化成各个小部分 可以证明