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对于e和π的研究是非常有趣的.而且许多结论都是基于三角函数和复变函数的.光是看结论,是不会推出它们的由来的.

π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……

方法一:将sinx按泰勒级数展开: sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ … 于是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ … 令y=x^2,有sin√y/√y=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ … 而方程sinx=0的根为.

描述的是底与平行四边形面积之间的关系

e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位. e^ix=cosx+isinx的证明: 因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx.

=∑x^(2n-1)(-1)^(n-1)/(2n+1)! =1/x²∑x^(2n+1)(-1)^(n+1)/(2n+1)!

复变函数里经常见:e^(iπ)=-1

(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞), ∵f(x)= lnx x ,∴f′(x)= 1?lnx x2 , 当f′(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;<br>当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞). (Ⅱ)∵e<3<π,<br>. 由 ln3 3 <<br>lne e ,得ln3e<lne3,∴3e<e3.<br>综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,3e<πe<π3<3π,3e<e3,<br>又由(Ⅱ)知, lnπ π <<br>lne e ,得πe<eπ,<br>故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小. 由(Ⅰ).

展开全部 这个需要那些创造这些公式的大师来解惑.我只知道皮毛,甚至皮毛都算不上.其实圆周率π还好说,因为物理宏观或者微观好多的运动轨迹都跟圆或者球有关,所以圆周率π是很常用的,但是高等物理中越来越多的出现了自然对数e,我所知道的就是自然对数的来源是大数学家花了很大的精力才求出来了,通过编制成的自然对数表,可以将乘法转化为加法,途径是对数,在对数的底数选择时,做了成千上万次,最后选了个最完美最“自然的.

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