- a为n阶矩阵,若a为对称矩阵,则a=0当且仅当对任一n·1列向量x均成立x^tax=0
- 设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明：BTAB也是对称矩阵。
- 设A和B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B'AB为对称矩阵
- 设A为n阶对称，B为n阶反对称矩阵。证明：1.AB-BA为对称矩阵2.AB+BA为反对称矩
a为n阶矩阵,若a为对称矩阵,则a=0当且仅当对任一n·1列向量x均成立x^tax=0
记e_i是n阶单位阵的第i列
先取遍x=e_i得到a(i,i)=0
再取遍x=e_i+e_j得到a(i,j)=0
设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明：BTAB也是对称矩阵。
因为 A为对称矩阵
所以 A^T = A
因为 (B^TAB)^T = B^TA^T(B^T)^ = B^TAB
所以 B^TAB 是对称矩阵.
设A和B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B'AB为对称矩阵
证明: 因为 A是对称矩阵
所以 A' = A.
所以 (B'AB)' = B'A'(B')' = B'AB
所以 B'AB 是对称矩阵
例如：
要证一个矩阵是对称的只需要证明它的转置等于它本身
因为
[B(T)AB](T)
=B(T)A(T)(B(T))(T)
B(T)AB (最后一步用到了A是对称阵)
所以B(T)AB也是对称矩阵
扩展资料：
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵，记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
(A')'=A
(A+B)'=A'+B'
(kA)'=kA'(k为实数)
(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。
参考资料来源：百度百科-对称矩阵
设A为n阶对称，B为n阶反对称矩阵。证明：1.AB-BA为对称矩阵2.AB+BA为反对称矩
（AB-BA）'＝（AB）'-（BA）'＝B'A'-A'B'＝（-B）A-A（-B）＝-BA+AB＝AB-BA……对称矩阵
（AB+BA）'＝（AB）'+（BA）'＝B'A'+A'B'
＝（-B）A+A（-B）＝-BA-AB＝-（AB+BA）……反对称矩阵