后面不是等于 1/3,而是 → 1/3 (n → ∞) ,所以收敛半径 r = 3 ,当 x = 3 时显然是调和级数,发散;当 x = -3 时是交错级数,收敛 ,因此收敛域为 [-3,3). 1. 收敛是一个经济.

显然对任意一个实数x,这个幂级数都是一个正项级数,所以可以直接用正项级数的比值判别法来求收敛域,后项比前项是(x^2n+2/(n+1)!)/(x^2n/n!)=x^2/n+1,容易求得在n–>∞时,极限等于0,由比值判别法,对任意实数x,幂级数都是收敛的,也就是幂级数的收敛域是整个实数域(–∞,+∞).

首先一般项趋于0 这种极限,看最大指数项就行了 最大指数项必须是分母(3x)^n |3x|>2,即|x|>2/3 lim |[2^(n+1)+x^(n+1)]/[1+(3x)^(n+1)]*[1+(3x)^n]/[2^n+x^n]|=lim |[2^(n+1)+2(6x)^n+x^(n+1)+x(3x^2)^n]/[2^n+x^n+3x(6x)^n+3x(3x^2)^n]| 最大指数项只可能是6x或3x^21.|6x|>|3x^2|,即|x|极限为|2/(3x)|2.|6x|2 极限为1/33.x=2 极限为1/3故收敛域为|x|>2/3

ρ=lim(n->∞)[1/(n+1)/(1/n)]=lim(n->∞)(n/(n+1))=lim(1-1/(n+1))=1 R=ρ=1(R是收敛半径) 当x=±1时,幂级数收敛 所以收敛区间为【-1,1】

一般的推导 用第n+1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径 收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域 比如收敛半径是r,求收敛域,就是判断x(或x-a)的对值r时必发散,所以只要判断=r时的两个点是否收敛即可,如过有收敛就把该点并到

f(x)=ln(1+x)+ln(1-2x) 展开你应该都会了,ln(1+x)的收敛域为(-1,1] ln(1-2x)的收敛域为-1-1/2≤x即为,[-1/2,1/2) 两者取交集,得到幂级数的收敛域为 [-1/2,1/2)

提问者附图已经详尽解答了问题.首先收敛半径为1,这是可以按公式求出的.即在(-1,1)内级数收敛;当|x|>1时发散.接下来要问区间的端点,即x=+1,-1是否收敛.这只要将x用对应的数字代人级数,分别得到一个常数项级数.x=1时对应得到交错级数,满足莱不尼茨条件,收敛;x=-1对应p=1的p级数,(调和级数),发散.所以收敛域要加上x=1,即在(-1,1]收敛.

收敛半径R=1,首先知道在(-1,1)内级数收敛,又因为在端点x=1及x=-1处,级数的通项趋于无穷不趋于0,所以发散,因此收敛域仍然是(-1,1)

幂级数可以逐项求导,先求导可以把分母的n消去,然后分母提取出一个3,就可以化成(x/3)^(n-1)x(-1)^n,分母的3提出去是1/3,然后就得到一个等比级数,公比是-x/3,然后再求原和函数导数的和函数,再积分回去就可以了.函数收敛域要其和函数有.

这道题可以化成标准的级数,就是(x^2)^n/n!,所以答案是r.方法么,要么用普通级数的判定方法(cauchy,d'alembert之类的),要么加上缺的项,可以求出收敛域的下界(非负数列),再试着证明也就是上界.方便的就知道这些了.有时化成积分也能做,但麻烦不少.