1和2明显错的. 举个反例:an=1/n,即级数an=1+1/2+1/3+.+1/n+. 级数an是发散的(调和级数) 令bn取an中的奇数项并乘上2,即bn=2{1+1/3+1/5+.+1/(2*n+1)+.},.

一定发散.若A(n)-B(n)收敛,则B(n)=A(n)-[A(n)-B(n)]应该收敛.与B(n)发散矛盾.因此,A(n)-B(n)一定发散.

∑(an+bn-bn)=∑(an+bn)-∑bn成立的条件是an绝对收敛 ∑an发散,则an不→0(n→∞),若∑bn收敛,则bn→0(n→∞),于是an+bn不→0,由级数收敛的充分条件知∑(an+bn)发散

既有可能收敛,也有可能发散 举例:(1)an=1/n,收敛;bn=n,发散;anbn=1,收敛 (2)an=1/n,收敛;bn=n^2,发散;anbn=n,发散

相加相减发散:存在正数a,对任意正整数N,存在正整数n>m>N,使得|a[m]+a[m+1]+.+a[n]|>2a存在正整数N0,当n>m>N0时,|b[m]+.+b[n]|m>N且n>m>N0,|(a[m]±b[m])+..

反过来想假设它收敛,而an也收敛,那么an-(an-bn)也收敛,也就是bn收敛,与已知条件矛盾,所以假设不成立,从而an-bn一定发散.

如果∑an ,∑bn 是一般项级数,则性质不对: ∑an=(-1)^n/√n ∑bn=(-1)^n/√n 由 Leibniz 交错级数收敛定理,∑an ,∑bn 都收敛,但是 ∑anbn=∑1/n 发散; 如果∑an ,∑bn 是正项级数,则性质正确: ∑an 收敛,则 liman=0 an有界M; 0<anbn<Mbn ∑Mbn收敛,由正项级数的比较原则,∑anbn也收敛.

反证:假设{anbn}收敛,因为lim an=a(a不等于0)则lim bn=lim(anbn/an)=(lim anbn)/(lim an), 可知bn也收敛,与题意矛盾.原命题得证.

你这个命题是错误的:比如An=(1/2)^n[即1/2的n次方]收敛于0, Bn=(-1)^n是发散的, 而An*Bn=(-1/2)^n显然收敛于0.

∑{an±bn}=∑{an}±∑{bn}=±∞, 所以{an±bn}是发散数列. {anbn}和{an/bn}(bn≠0}未必为发散数列,设bn=1,有anbn=an,an/bn=an,都时收敛的,而{bn}是发散数列的!