如图所示:

一般的推导 用第n+1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径 收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域 比如收敛半径是r,求收敛域,就是判断x(或x-a)的对值r时必发散,所以只要判断=r时的两个点是否收敛即可,如过有收敛就把该点并到

lim(n→∞)|a(n+1)|

最简单的办法就是直观的看函数的类型,判断函数的图象,根据图像判断收敛发散,初等函数就那几种,很简单的,稍微复合一点的函数可以通过去特殊值判断

显然对任意一个实数x,这个幂级数都是一个正项级数,所以可以直接用正项级数的比值判别法来求收敛域,后项比前项是(x^2n+2/(n+1)!)/(x^2n/n!)=x^2/n+1,容易求得在n–>∞时,极限等于0,由比值判别法,对任意实数x,幂级数都是收敛的,也就是幂级数的收敛域是整个实数域(–∞,+∞).

f(x)=ln(1+x)+ln(1-2x) 展开你应该都会了,ln(1+x)的收敛域为(-1,1] ln(1-2x)的收敛域为-1-1/2≤x即为,[-1/2,1/2) 两者取交集,得到幂级数的收敛域为 [-1/2,1/2)

提问者附图已经详尽解答了问题.首先收敛半径为1,这是可以按公式求出的.即在(-1,1)内级数收敛;当|x|>1时发散.接下来要问区间的端点,即x=+1,-1是否收敛.这只要将x用对应的数字代人级数,分别得到一个常数项级数.x=1时对应得到交错级数,满足莱不尼茨条件,收敛;x=-1对应p=1的p级数,(调和级数),发散.所以收敛域要加上x=1,即在(-1,1]收敛.

收敛半径R=1,首先知道在(-1,1)内级数收敛,又因为在端点x=1及x=-1处,级数的通项趋于无穷不趋于0,所以发散,因此收敛域仍然是(-1,1)

假设和函数为s(x),对和函数求导,相当于对幂级数逐项求导. 所以s'(x)=∑x^2n=1/(1-x^2) (x的绝对值小于1) 所以求s(x),只要对上式两边积分就可以了, 收敛域为x的绝对值小于1

x=1和-1时,an趋于无穷收敛域(-1,1)