勒贝格测度的性质
R上的勒贝格测度有如下的性质
如果A表示的是区间I1 ×I2 × ... ×In的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 其中 |I| 表示区间I的长度。 如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。 如果A勒贝格可测的，那么它的补集（相对于R）也是可测的。 对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。 如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。) 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。 如果A是一个开集或闭集，且是R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。 如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 ，则A的任何一个子集B的勒贝格测度λ(B)=0。 如果A是勒贝格可测的，x是R中的一个元素，A关于x的平移（定义为A+x= {a+x:a∈A}）也是勒贝格可测的，并且测度等于A. 如果A是勒贝格可测的，δ > 0，则A关于δ的扩张（定义为）也是勒贝格可测的，其测度为。 更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个R的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为。 如果A是R的勒贝格可测子集，f是一个A到R上的连续单射函数，则f(A)也是勒贝格可测的。
简要地说，R的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足的测度。
勒贝格测度是σ有限测度。
证明：可数点集的外测度为零
任取ε>0，对点集的第n个点，用长度为ε/2^n的区间去覆盖，那么这个点集可以被测度为2ε的集合覆盖。
证明解析数集是可测集。
解析数是代数数吧。
这个不难，任何一个代数数都是整系数多项式方程的根。
当最高次为n 的整系数多项式方程是可数的。由于一个方程仅有n个跟，那么这些根组成的集合为An。显然An是可数多个。
显然所有的代数数就是A1到An。。。。这些可数集合的并。
那么代数数是可数多个。测度为0，当然是可测集。
证明函数可测
展开全部
不妨只考虑 对x1 的偏导。称对x1的偏导为g(x).
我们只需证明: 任给 实数a, {x 属于Rn | g(x) <= a} 是可测集即可。
显然 f 连续，而且g(x) 存在。
设 Vij = { x=（x1,...,xn) 属于Rn | (f(x1 + 1/j, x2,...,xn) - f(x1,...,xn))/(1/j) < a + 1/i }; i,j = 1,2,....
Vij 是开集在连续函数下的逆像，所以是开集。
令 Ui = Vij对j=1,2,... 的并集。 则 Ui 仍是开集。
而根据导数的定义，我们得到：
{x 属于Rn | g(x) <= a} = Ui对i=1,2,... 的交集。
所以{x 属于Rn | g(x) <= a}是可测集。于是f关于X1的偏导数是Rn上的可测函数.