降次计算即可 原式=∫ [(1-cos2x)/2]²dx =(1/4)∫ (1-2cos2x+cos²2x)dx =x/4-(1/4)∫cos2xd(2x)+(1/4)∫ [(1+cos4x)/2]dx =x/4-(1/4)sin2x+(1/8)[x+(1/4)sin4x] =(3x/8)-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C 不明白可以追问,如果有帮助,请选为满意回答!

用公式:∫(sinu)^n du=(-1/n)*(sinu)^(n-1)*cosu+[(n-1)/n]∫(sinu)^(n-2) du

∫sin^4x dx=∫(1-cos^2x )sin^2xdx=∫sin^2xdx-1/4∫(sin2x)^2dx=1/2∫(1-cos2x)dx-1/8∫(1-cos4x)dx=1/2x-1/2sin2x-1/8x+1/4sin4x+C=3/8x-1/2sin2x+1/4sin4x+C

^^∫(sinx)^4 dx=(1/4)∫(1-cos2x)^2 dx=(1/4)∫[1-2cos2x+ (cos2x)^2] dx=(1/8)∫[3-4cos2x+ cos4x] dx=(1/8)[ 3x-3sin2x+(1/4)sin4x] + C

原式=∫sin4xcosxdx=∫2sin2xcos2xcosxdx=∫4sinxcosx(2(cosx)^2-1)=8∫sinx(cosx)^3dx-2∫sin2xdx=8∫(cosx)^3dcosx+∫dcos2x=2(cosx)^4+cos2x+c

原式=1/4·∫(1-cos2x)²dx=1/4·∫(1-2cos2x+cos²2x)dx=1/8·∫(3-4cos2x+cos4x)dx=1/8·(3x-2sin2x+1/4·sin4x)+C=3x/8-1/4·sin2x+1/32·sin4x+C

令a=4x 则x=a/4 dx=(da)/4 所以原式=∫a(da)/4=a²/8+C=16x²/8+C=2x²+C

8.∫dx/sin⁴x=∫[(sin²x+cos²x)/sin⁴x]dx=∫(csc²x+csc²xcot²x)dx=∫csc²xcot²xdx+∫csc²xdx= -∫cot²xd(cotx)-cotx=-⅓cot³x -cotx +C

解:∫-4sin4xdx=∫d(cos4x)=cos4x+C.供参考.

sin^4x=[(1-cos2x)/2]^2=[1-2cos2x+cos^2(2x)]/4 =[1-2cos2x+(1+cos4x)/2]/4=(3-2cos+cos4x)/8 所以 ∫sin^4(x)dx=(3x-sin2x+sin4x/4)/8+C