高数题，解微分方程通解，麻烦自己手写工整噢
求微分方程 y''+y'-2y=3xe^x的通解
解：齐次方程y''+y'-2y=0的特征方程 r²+r-2=(r+2)(r-1)=0的根r₁=-2，r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=C₁e^(-2x)+C₂e^x;
设特解为：y*=x(ax+b)e^x=(ax²+bx)e^x;
y*'=(2ax+b)e^x+(ax²+bx)e^x=[ax²+(2a+b)x+b]e^x;
y*''=(2ax+2a+b)e^x+[ax²+(2a+b)x+b]e^x=[ax²+(4a+b)x+2a+2b]e^x
代入原式并消去e^x，得：
[ax²+(4a+b)x+2a+2b]+[ax²+(2a+b)x+b]-2(ax²+bx)=3x
化简得：6ax+2a+3b=3x；故6a=3，a=1/2；2a+3b=1+3b=0，∴b=-1/3；
即特解为：y*=[(1/2)x²-(1/3)x]e^x;
∴原方程的通解为：y=C₁e^(-2x)+C₂e^x+[(1/2)x²-(1/3)x]e^x;
大一高数 求下列微分方程通解
y''+y'=2x^2.e^x
The aux. equation
p^2 +p=0
p(p+1)=0
p=0 or -1
yg = Ae^(-x) +B
yp= (Cx^2 +Dx+F)e^x
yp'=(Cx^2 +Dx+F + 2Cx+D)e^x =[Cx^2 +(2C+D)x +D+F]e^x
yp''=[Cx^2 +(2C+D)x +D+F + 2Cx + 2C+D]e^x =[Cx^2 +(4C+D)x + 2C+2D+F].e^x
yp''+yp'=2x^2.e^x
[Cx^2 +(4C+D)x + 2C+2D+F].e^x +[Cx^2 +(2C+D)x +D+F]e^x =2x^2.e^x
[ 2Cx^2 +(6C+2D)x + 2C+3D+2F] e^x =2x^2.e^x
=>
2C=2 and 6C+2D=0 and 2C+3D +2F=0
=>
C=1 and D=-3 and F=7/2
yp = (x^2 -3x+ 7/2).e^x
y''+y'=2x^2.e^x 的通解
y=yg+yp =Ae^(-x) +B +(x^2 -3x+7/2).e^x
高数微分方程题目
(1)不是应该去掉一个积分号，就加一个任意常数C吗，公式里有三个积分号，为什么最后只有
一个C?
答：这是一阶微分方程通解公式，在写这个公式时，就只有一个积分常数，不要把里面的积分
符号看作没写积分常数的不定积分。事实上，不用此公式求解，就知道只有一个积分常数。
(2). ∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx=-∫d(cosx)/cosx=-ln(cosx)+c;
在解微分方程时，一般都不加绝对值符号。
不用上面的公式求通解：
先求齐次方程 y'+ytanx=0的通解：分离变量得 dy/y=-tanxdx；
积分之得 lny=ln(cosx)+lnc=ln(ccosx)；即有齐次方程的通解为 y=ccosx;
将c换成x的函数u，得 y=ucosx.........①；对①取导数得 y'=u'cosx-usinx.........②
将①②代入原式得 u'cosx-usinx+ucosx=cosx；化简得 u'=1，故u=x+c.........③；
将③代入①式即得原方程的通解为：y=(x+c)cosx.
大学高数微分方程题目
f(x)可微，未知是否可导，
所以令g(x)=∫f(x)/(x³f(x)+x)dx，g(1)=0
则1/g'(x)=x³+x/f(x)=x³+x/(g(x)+1)
解微分方程得g(x)而后得f(x)=g(x)+1