求解线性代数题目如图
第2题
|A|=a11A11+a12A12+a13A13
=
ATA=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
*
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
*
-A11 -A12 -A13
-A21 -A22 -A23
-A31 -A32 -A33
=
-|A| 0 0
0 -|A| 0
0 0 -|A|
因此|ATA|
=(-|A|)³
即
|A|²=-|A|³
则
|A|=0或-1
第3题
A²=
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
A⁴=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=I
B²⁰⁰⁴-2A²
=(P⁻¹AP)²⁰⁰⁴-2A²
=P⁻¹A²⁰⁰⁴P-2A²
=P⁻¹(A⁴)⁵⁰¹P-2A²
=P⁻¹I⁵⁰¹P-2A²
=I-2A²
=
3 0 0
0 3 0
0 0 -1
线性代数 线性方程组求解 题目如图
系数矩阵行列式 |A| =
|1 1 1|
|1 a 1|
|1 1 a|
|A| =
|1 1 1|
|0 a-1 0|
|0 0 a-1|
|A| = (a-1)^2
a ≠ 1 时方程组有唯一解。
a = 1 时， 增广矩阵 (A, b) =
[1 1 1 -2]
[1 1 1 -2]
[1 1 1 -2]
初等行变换为
[1 1 1 -2]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 1 < 3,
方程组有无穷多解。
此时方程组同解变形为
x1 = -2 - x2 - x3
取 x2 = x3 = 0, 得特解 (-2, 0, 0)^T;
导出组为 x1 = - x2 - x3， 得基础解系是
(1, -1, 0)^T, (1, 0, -1)^T,
则方程组的通解是
x = (-2, 0, 0)^T + k(1, -1, 0)^T + c (1, 0, -1)^T，
其中 k， c 为任意常数。
线性代数 特征向量求解 如图
这里用实对称矩阵特征向量的性质定理求，实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必然正交
既然3对应的特征向量是a1=(-1,0,1)，任意取一个线性无关的向量如a=(1,0,0)，则
a1 - <a1, a>/<a1,a1> *a必然和a1正交，所以a2=a1 - <a1, a>/<a1,a1> *a就是5的一个特征向量
而a2和a1的叉乘是另外一个
线性代数求解，如图，利用代数余子式，按照第一列展开，要怎么解
很简单，第1列a，相应的代数余子式时红框部分的行列式，是对角阵，等于a^(n-1)
1，相应的代数余子式，是（-1）^(n+1) *外侧蓝框行列式（n-1阶），
而这个行列式，按第1行展开，是（-1）^n *内侧蓝框行列式（n-2阶），
内侧蓝框行列式，也是对角阵，是a^(n-2)
因此，最终结果是
a^(n-1) + （-1）^(n+1) *（-1）^n *a^(n-2)
=a^(n-1) - a^(n-2)