通过初等行变换(就是一行的多少倍加的另一行,或行交换,或者某一行乘以一个非零倍数)把矩阵化成行阶梯型(行阶梯形就是任一行从左数第一个非零数的列序数都比上一行的大,形象的说就是形成一个阶梯,).这样数一下非零行(零行就是全是零的行,非零行就是不全为零的行)的个数就是秩.例如:1 2 3 41 3 4 52 4 5 6 第一行乘以负一加的第二行得1 2 3 40 1 1 12 4 5 6 再把第一行乘负二加到第三行得1 2 3 40 1 1 10 0 -1 -2 现在就满足行阶梯形了因为非零行有3行 所以秩为3

1. 求向量组的秩的方法:将向量组按列向量构造矩阵(a1,.,as) 对此矩阵用初等行变换(列变换也可用)化为梯矩阵 非零行数即向量组的秩.2. 求矩阵的秩 对矩阵实施初等行变换化为梯矩阵 非零行数即矩阵的秩.3. 二次型的秩即二次型的矩阵的秩

第一步,将矩阵化为行阶梯形.化行阶梯形的步骤是先找出一个最简单的一行,移到第一行,将它依次和下面的行加减.第二步,从上往下,将不是全为零的行数数出来就是矩阵的秩.

线性代数中有2个秩的概念 1、矩阵的秩.对任意m*n阶矩阵,通过初等变换(包括行初等变换和列初等变换)将其化为行阶梯型矩阵,行阶梯型矩阵中非零的行数即为该矩阵的秩; 2、向量组的秩.将此向量组中每个向量按列构成一矩阵,通过求矩阵的秩得到该向量组的秩,理论依据为矩阵的秩等于其行(列)向量组的秩.

根据定义求解,定义如下:设有向量组A(A可以含有限个向量,也可以含无限多个向量),如果在A中能选出r个向量a1,a2,.ar,满足 (1)a1,a2,.ar线性无关 (2)A中任意r+1个向量线性相关 则向量组a1,a2,.,ar称为向量组A的最大线性无关向量组(简称最大无关组),数r称为向量组A的秩,只含零向量的向量组没有最大无关组,规定他的秩为0 求解过程用相似矩阵的相似变化求解.

矩阵的秩可以用初等变换来求.对矩阵做行初等变换,化成行阶梯矩阵,非零行的个数就是矩阵的秩.若是向量组,可以把向量组中的向量看出是一个矩阵的行向量,将他们组成一个矩阵,之后和上述方法一样,就可以了.

第三行减去第一行,得1 1 1 a0 0 0 10 0 0 1-a 第二行的-(1-a)倍加到第三行,得1 1 1 a0 0 0 10 0 0 0 这是一个行阶梯形矩阵,非零行的行数为2,所以矩阵的秩为2.

使用初等行变换来求秩1 -1 2 1 02 -2 4 -2 03 0 6 -1 10 3 0 0 1 r2-2r1,r3-r4 ~1 -1 2 1 00 0 0 -4 03 -3 6 -1 00 3 0 0 1 r3-3r1,r4/3,r1+r4 ~1 0 2 1 1/30 0 0 0 00 0 0 -4 00 1 0 0 1/3 r3/(-4),r1-r3,交换行次序 ~1 0 2 0 1/30 1 0 0 1/30 0 0 1 00 0 0 0 0 所以矩阵的秩为r(A)=3

化成行最简形(或行阶梯形),然后数一下非零行数 例如:

用初等变换求该矩阵的秩,并求出最高阶非零子式1 1 2 2 10 2 1 5 -12 0 3 -1 31 1 0 4 -1 r3-2r1,r4-r11 1 2 2 10 2 1 5 -10 -2 -1 -5 10 0 -2 2 -2 r3+r21 1 2 2 10 2 1 5 -10 0 0 0 00 0 -2 2 -2 所以r(A)=3. 且A的1,2,3列中有3阶非零子式 显然0 2 12 0 31 1 0 为3阶非零子式(用对角线法则,负项都是0)