毕奥-萨伐尔定律怎么用?
电流激发磁场的基本规律是电流元激发磁场的规律，叫做毕奥-萨伐尔定律．它是法国科学家毕奥(1774～1862)和萨伐尔(1791～1874)在研究长直导线中电流的磁场对磁极作用力的基础上提出的．
图8－13所示是一根任意形状的通电导线，Idl是其中一段电流元．毕奥和萨伐尔提出，这段电流元在相距为r的场点P处所激发磁场的磁感应强度矢量为
所采用的单位．上式是毕奥-萨伐尔定律的解析表达式．
根据电流强度的国际单位——安培的定义，上式中的常数km正好等于10-7．安培的定义将在后面说明．从后面还将看到km的单位是N·A-2．正象库仑定律中的常数一样，通常把常数km用另一个叫做真空磁导率μ0的常数来表示．它们的关系是
用常数μ0来表示，毕奥-萨伐尔定律可写作
(8．2)
根据矢量积的定义，dB的大小为
(8．3)
毕奥-萨伐尔定律和库仑定律有类似之处，磁场的源是电流元，类似于电场的源是电荷；磁场随场点到电流元的距离平方而衰减，有如电场随场点到电荷的距离平方而衰减．但就方向性而言，两种场则完全不同．电场沿着由电荷(假设为正电荷)引向场点的径矢方向，而磁场则与由电流元引向场点的径矢及电流元垂直．对于电流元延长线上的场点，如图8－13中的Q和Q′，磁感应强度为零．
磁场遵从叠加原理，由任意形状通电导线所激发的总磁感应强度B是由电流元所激发的磁感应强度dB的矢量积分：
(8．4)
需要指出的是，由于孤立的电流元不可能得到，所以式(8．2)不可能用实验直接验证．毕奥-萨伐尔定律的正确性就体现在，由它推出的结论与实验很好地符合．
8．3．2 应用举例
下面，我们应用式(8．2)来计算几种常见的通电导线所激发磁场的磁感应强度．
1．通电长直导线的磁感应强度
如图8－14a所示，长直导线A1A2由下至上通有电流I，P为导线旁的任意一点，从P到导线的垂直距离为x，求P点的磁感应强度．
在距O点为l处取电流元Idl，它到P点的径矢为r，而Idl转到r的角度为θ．由式(8．3)，电流元在P点激发的磁感应强度的大小为
dB的方向垂直于纸面向里，由于所有电流元激发的磁感应强度的方向都是一致的，所以总的磁感应强度的大小B等于与各电流元相联系的dB的代数和，即
式中积分变量是l，r和θ都是l的函数．为了便于计算，我们把积分变量换成θ，并把r、dl用θ表示出来．由图中可以看出，
l=xctg(π-θ)=-xctgθ
所以
将以上关系代入积分式(考虑到x是常量)，就可得到
由图8－14b可见，A1和A2分别对应于θ=θ1和θ=θ2，代入上式，即得
(8．5)
如果导线A1A2为无限长，则θ1=0，θ2=π，因而式(8．5)化为
(8．6)
尽管无限长导线在实际中并不存在．但对距离任意有限长导线极近的一些场点，式(8．6)仍然适用．
2．通电圆线圈轴线上的磁感应强度
如图8－15所示，一圆线圈的半径为R，通有电流I，O为圆心，P为线圈轴线上距O为x的任意一点，线圈平面与图平面垂直，求P点的磁感应强度B．
在线圈的顶部取一电流元Idl，Idl垂直于图平面向外．设它到P点的径矢为r，则r在图平面内．这段电流元所激发的磁感应强度dB的方向如图所示，它垂直于Idl，
在图平面内，且垂直于r．dB的大小为
当沿着圆线圈对各电流元求和时，考虑到dB在垂直于线圈轴线方向的分量互相抵消，沿轴线方向的分量互相加强，所以只需对沿轴线方向的分量，即x分量求和．由图可见，dB的x分量为
(8．7)
下面考虑几种特殊情形：
(1)在圆心O处，x=0，所以，
(8．8)
(2)在远离圆线圈处，x>>R．在式(8．7)等号右端分母中，R2与x2相比可以略去．由此得到
式中m=I(πR2)叫做圆线圈的磁距．上式对应于电偶极子轴线上一点的场强公式
式中P是电偶极子的偶极矩．
(3)一般通电圆弧形导线所激发的磁场在圆心O点(图8－16)的磁感应强度B的大小为
(8．9)
方向沿轴线并遵从右手法则．式中θ是圆弧对圆心O所张的圆心角．这里，虽然没有轴对称性但由于每一电流元激发的dB的方向都相同，所以只需进行简单的积分即可得到上式．
例1 一无限长通电导线被弯成如图8－17所示的形状．电流强度为I，四分之三圆弧的半径为R，圆心为O点，求O点处的磁感应强度B．
解 将导线分成“1”、“2”、“3”三段，“1”和“3”是半无限长导线，“2”是四分之三圆弧．设各段在O点激发的磁感应强度分别为B1、B2和B3，则根据叠加原理，O点的总磁感应强度为
B=B1+B2+B3
其中
B1=0
这是因为O点在“1”的延长线上，这段导线上各电流元到O点的径矢与电流元平行，而根据矢量积的定义，互相平行的矢量的矢量积为零．根据式(8．9)有
θ2=π，所以
B3与B2同方向．因此
B的方向垂直于图平面向外．