• 已知圆x^2+(y-1)^2=2上任意一点P（x,y），其坐标均使得不等式x+y+m大于等于0恒成立，求m的取值范围
• 求曲面z=2-(x^2+y^2)与z=X^2+y^2所围立体体积
• 一道 难题！！！
• 重积分应用

已知圆x^2+(y-1)^2=2上任意一点P（x,y），其坐标均使得不等式x+y+m大于等于0恒成立，求m的取值范围

m为根号2然后减去1 约为0.414

求曲面z=2-(x^2+y^2)与z=X^2+y^2所围立体体积

把x-y坐标平面往z轴正方向移动一个单位，可以看出体积为z=1-(x^2+y^2)与x-y平面围成体积的两倍。这个体积直接体积积分就可以算出。积分符号打不出，你自己算算吧，应该没问题的。

一道 难题！！！

很简单，把方程组里的z化简掉，就是在xoy面上的投影方程。就是x^2+y^2=1

如果是在xoz面上的投影，就把y化简掉

如果是在yoz面上的投影方程，就把x化简掉

重积分应用

对称地，有上下两片，以下求上面的那一片（记为∑）的面积A：

∑在xoy面的投影域，是圆X^2+Y^2=aX的内部（记为Dxy），则有公式

A=∫∫∑dS=∫∫Dxy√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] dxdy，其中

√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] 中的函数Z为∑的方程之Z=√[a^2 - x^2 - y^2] ，由此求得

√[1+（Z’x）^2+(Z’y)^2] =a/√[a^2 - x^2 - y^2]，故

A=a∫∫Dxy1/√[a^2 - x^2 - y^2]dxdy，对这个二重积分采用极坐标计算，其积分限确定为

0≤θ≤∏，0≤r≤acosθ，盖因：

域Dxy，即圆x^2+y^2=ax的内部的极角范围是0≤θ≤∏；

极半径r的范围是从0到圆x^2+y^2=ax的边界，而圆x^2+y^2=ax的极坐标方程是r=acosθ：是

把极坐标与直角坐标的关系式x^2+y^2=r^2以及x=rcosθ代入圆x^2+y^2=ax这个方程中得到的【注意此方法】

于是，A=a∫（0到∏）dθ∫（0到acosθ）r/√[a^2 - r^2]dr=a^2（∏-2）

则2A=2a^2（∏-2）就是所求面积。

本题也可以只求第一卦限的那片面积，然后4倍之。