1-cosx 在0显然 在同一区间的相同函数值内 直线上的函数值比凹函数要大 所以1-cosx

这个不等式是离散形式的Holder不等式 证明它要先借用另外一个不等式——Young不等式:对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当.

设函数:f(x)=xlnx,定义域:x>0.f'(x)=1+lnx f''(x)=1/x>0 所以f(x)是凹函数.那么[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2] xlnx+ylny>2*[(x+y)/2]ln[(x+y)/2] xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]

构造函数f(t)=t^n,则 f′(t)=nt^(n-1),f′′(t)=n(n-1)t^(n-2).显然,n>1时,f′′(t)>0.故f(t)=t^n为下凸函数,依jensen不等式得 [f(x)+f(y)]/2>f[(ⅹ+y)/2](x≠y时为严格不等式!) ∴(x^n+y^n)/2>[(ⅹ+y)/2]^n.

设f(x)=㏑x,则 f′(x)=1/x,f″(x)=-1/x².可见,f″(x)故知f(x)=㏑x为上凸函数.

设 f(x)=lnx, x>0 f''(x)=-1/x^2 ==> 任给 0令 t=p/(p+q), x1=a/p, x2=b/q, 则有:p/(p+q) * ln(a/p) + q/(p+q)ln(b/q) 两边乘 (p+q), 然后 取 e 幂, 整理便得结论.

1-cosx 在0<x<π/2上是(0,1)的凹函数;而2x/π在0<x<π/2上是(0,1)的直线 显然 在同一区间的相同函数值内 直线上的函数值比凹函数要大 所以1-cosx<2x/π (0<x<π/2)

如上图ACB三点在曲线上,连接AB,D在AB上,E为BA延长线与坐标轴交点 自变量的取值分别为x1,x2,x 那么f(x1)就是Ax1线段长度,f(x2)就是Bx2线段长度,f(x)就是Cx线段长度(向下那一段) 在△EBx2、△EAx1、△EDx中用相似可以求得Dx线段长度,结果就是等式右边 所以这个不等式的几何意义就是Dx比Cx长~

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用文献综述可以的,没有问题.

设函数:f(x)=xlnx,定义域:x>0.f'(x)=1+lnxf''(x)=1/x>0所以f(x)是凹函数.那么[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]xlnx+ylny>2*[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]