构造函数f(t)=t^n,则 f′(t)=nt^(n-1),f′′(t)=n(n-1)t^(n-2).显然,n>1时,f′′(t)>0.故f(t)=t^n为下凸函数,依Jensen不等式得 [f(x)+f(y)]/2>f[(ⅹ+y)/2](x≠y时为严格不等式!) ∴(x^n+y^n)/2>[(ⅹ+y)/2]^n.

1-cosx 在0显然 在同一区间的相同函数值内 直线上的函数值比凹函数要大 所以1-cosx

这个不等式是离散形式的Holder不等式 证明它要先借用另外一个不等式——Young不等式:对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当.

设函数:f(x)=xlnx,定义域:x>0.f'(x)=1+lnxf''(x)=1/x>0所以f(x)是凹函数.那么[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]xlnx+ylny>2*[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]

设 f(x)=lnx, x>0 f''(x)=-1/x^2 ==> 任给 0令 t=p/(p+q), x1=a/p, x2=b/q, 则有:p/(p+q) * ln(a/p) + q/(p+q)ln(b/q) 两边乘 (p+q), 然后 取 e 幂, 整理便得结论.

(Jensen)不等式 如果f(x)在(a,b)上是凸函数,x1,x2都在(a,b)上,证明不等式:f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立. 证明:证明f[(x1+x2)/2]≥1/2[f(x1)+f(x2)]成立可以转化为证明f[(.

由要证明的不等式构造1个函数,如果这个函数是凸函数,则可斟酌利用凸函数性质.

第一题,e^x是下凸函数,由下凸函数定义就直接能推出来了,第二题x,和y得有范围的吧,要不凹凸性不同啊

lovesword1987的是 答非所问! 比如:设x1,x2,x3,.,xn>0,求证: 1/n *(1/x1 + 1/x2 +. 凸函数和凹函数的性质各是什么?匿名的你不是已经写了一个凸函数的了吗? 可能你.

令f(x)/x = g(x),则g(x)单调减.f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)*g(x1+x2)-x1*g(x1)-x2*g(x2)=x1*[g(x1+x2)-g(x1)]+x2*[g(x1+x2)-g(x2)],又x1>0,x2>0,且g(x)单调减:g(x1+x2)若f(x)/x是单调增,则原不等式的不等号反向.证明同理.