我泛泛地理一下吧 a1,a2,.,as 线性无关的充分必要条件是:只有当 k1,k2,.,ks 都等于0时, 才有 k1a1+k2a2+.+ksas = 0 这是定义.所以一般情况下, 可设 k1a1+k2a2+..

用定义,设K1b1+K2b2+K3b3=0.把b用a1a2a3代替,根据a1a2a3无关令它们的系数等于零,解得K1=K2=K3=0,证毕

对于x1*a1+.+xm*am=0,这是一个齐次线性方程组,由于a1,a2...am线性无关线性无关,故该线性方程组只有0解.对于x1*b1+.+xm*bm=0这也是一个齐次线性方程组,且前n个方程与上一个方程组相同,由此可知,该方程组也只能有0解,故x1,x2,.xm均为0向量,即b1,b2,..bm也线性无关.

(β-α1,β-α2,β-α3)=(α2+α3,α1+α3,α1+α2)=(α1,α2,α3)KK=0 1 11 0 11 1 0因为 |K|= 2, 所以 r(K)=3.由于 α1,α2,α3线性无关, 所以 r(β-α1,β-α2,β-α3)=r(K)=3所以 β-α1,β-α2,β-α3 线性无关.

证明: 因为e1,e2,e3..en线性无关, 且任一向量都可由n维基本向量组 e1,e2,e3..en 线性表示由已知, a1,a2,a3.an与 e1,e2,e3..en 等价.而等价的向量组秩相同所以 r(a1,a2,a3.an) = r(e1,e2,e3..en) = n.

上面是用方程组做的,也可以用矩阵.矩阵(Aa1,Aa2,Aa3)=A(a1,a2,a3),A可逆,所以秩(Aa1,Aa2,Aa3)=秩(a1,a2,a3)=3.所以Aa1,Aa2,Aa3线性无关

这不是线性代数课本的题吗?第一问假设这一大堆线性相关,则由于基础解系线性无关,所以第一个向量可以由基础解系线性表示,所以它也是齐次方程的一个解,代入等于0.而题目告诉你,它又是非其次方程的解,本来代入应该等于向量b,所以矛盾.第二问,用第一问的向量组组成一个矩阵,然后进行初等列变换,可以最终得到第二问的向量组组成的矩阵,所以两个向量列等价,所以秩相等,所以两个向量组的秩相等.因为第一个向量组已经证明线性无关了,所以秩应该等于向量的个数,所以,第二个向量组的秩也等于向量的个数,所以线性无关.PS:跟楼主同考山大,互相祝福一下.

以下证明中因书写不方便,向量没有明确标出,不过应该能看明白吧^_^ 证明: 要证明a1,a2,.,an线性相关,只要证明关于x1,x2,.xn的方程 x1a1+x2a2+.xnan=0.......

b=a1+a2+a3+a4得到特解为(1,1,1,1)0=a1-2a2+a3得到齐次解(1,-2,1,0)(只有. 还需要找到Ax=0的基本解系(就是找到Ax=0的一组线性无关 解,并且这组线性无关的.

设k1X1+k2X2+k3X3=0. ....(1)A(k1X1+k2X2+k3X3)=k1AX1+k2AX2+k3AX3=k. 因为X1≠0,所以k1=0.所以由(1)只能得到k1=k2=k3=0,所以X1,X2,X3线性无关..