如何判断反常积分收敛性
1、定义法求积分值与判定积分的敛散性
定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限
即首先通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；然后对积分结果求极限；最后根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。
2、反常积分收敛性的判定方法
判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分
(1)无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论
(2)无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论
【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。
【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。
【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。
判断反常积分收敛性。。
这里考察的是无界函数反常积分的敛散性
而且无界函数比较特殊，只有1个或2个（可数个）奇点。
这一类的问题，主要依据柯西判决发的极限形式，链接中的定理（8.2.3）
网页链接
回到问题中，画圈的地方怎么来的
第一个，根据积分函数的奇点可以确定因子是什么，一般都是x-b,b为奇点
第二个，因子的阶次怎么确定，这个主要是尝试和经验来确定。简单的确定规则是找到积分函数的x-b的幂次来确定。
举个例子，第7题，x趋近1时，分子x^4趋近于1，分母趋近于零，因此主要关注“反常”的分母。分母分解(1+x^2)^(1/2)*(1+x)^(1/2)*(1-x)^(1/2)
可以看到反常的就只有(1-x)^(1/2)，这就是红圈的由来
反常积分收敛判别口诀
∫(0,+∞)sinx/x^(3/2)dx=∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx+∫(1,+∞)sinx/x^(3/2)dx
对∫(0,1)sinx/x^(3/2)dx
∵lim（x→0)[1/x^(1/2)]/[sinx/x^(3/2)]=1
q=1/21
∴∫(1,+∞)sinx/x^(3/2)dx收敛.
总之,∫(0,+∞)sinx/x^(3/2)dx收敛.
判断下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值
(1)小题。原式=-∫(0,1)d[√(1-x²)]=-√(1-x²)丨(x=0,1)=1。收敛。
(2)小题。原式=∫(1,e)d(lnx)/√(1-ln²x)]=arcsin(lnx)丨(x=1,e)=π/2。收敛。
(3)小题。原式=∫(-∞,0)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx+∫(0,∞)(丨x丨+x)e^(-丨x丨)]dx。
而，x∈(-∞,0)时，丨x丨=-x、x∈(0,∞)时，丨x丨=x，∴原式=2∫(0,∞)xe^(-x)dx=2。收敛。
供参考。