0~1 时 lim(x→0) x^m/[x^m/(1+x^n)]=1 故∫[x^m/(1+x^n)]dx与∫x^mdx同时敛散.m>=0时所给积分是常义积分,作为反常积分仅在-11~正无穷时 lim(x→+∞) x^(m-n)/[x^m/(1+x^n)]=1 故∫[x^m/(1+x^n)]dx与∫x^(m-n)dx同时敛散.n-m>1时∫x^(m-n)dx收敛.

a>1即可,因为ln(1+x^2)/x^a

无穷限积分∫【1,+∞】1/x^(4/3)dx 是收敛的 瑕积分∫【0,1】1/x^(4/3)dx是发散的,被积函数在x=0时无界题目中要讨论的是无穷限积分,被积函数在x=0时有界你把二者搅在一起了

在瑕点x = 1处, 被积函数与ln(1-x)^(2/m)是等价无穷大, 比(1-x)^(-1/2)低阶, 从而积分一定收敛.在瑕点x = 0处, 被积函数与x^(2/m-1/n)等价, 由m, n是正整数, 2/m-1/n > -1, 积分同样一定收敛.因此收敛性与m, n取值都无关.

积分的敛散性主要有以下几种情况:1)积分上下限之一,或同时趋于无穷;2)被积函数在积分区域内的一点或多点趋于无穷.考查积分的敛散性,可以积分后求极限看极限是否存在:存在即收敛;不存在则发散.对于1/(x-a)^p之类的积分,a 是积分区域内一点,可根据p值的大小判断收敛与否: p < 1 时收敛;其它情况下发散.

当q=1时,原式=∫(a,b)dx/(x-a)=ln丨x-a丨丨(x=a,b)=ln丨b-a丨-lim(x→a)ln丨x-a丨→. ②当q>1时,1-q<0,lim(x→a)(x-a)^(1-q)→∞,发散.故,综上所述,0<q<1时,积分收.

(A) ∫<-∞, -1> dx/x^(1/3) = (3/2)[x^(2/3)] <-∞, -1> = -∞, 发散;(B) ∫<1, +∞> dx/x^4 = (-1/3)[1/x^3]<1, +∞> = 1/3, 收敛;(C) ∫<2, +∞> dx/[x(lnx)^2] = ∫<2, +∞> dlnx/(lnx)^2= - .

可以直接求,有解就是收敛,没解就是发散

第一题用比较判别法,x趋于0时 |1/x^(1/2)lnx|而3/4 <1,故|1/x^(3/4)|积分收敛,故原式收敛 第二题也用比较判别法,x趋于无穷时2+x^(3/2)~x^(3/2),而3/2>1,故积分收敛

有两类,一个是无穷限,一个是瑕积分.这两种类型,只要确定好原函数,再看极限是否存在即可.