^^(arcsinx)`=(1-x^2)^(-1/2)(幂级数展开,泰勒公式) =1+∑(n=1~∞)[(2n-1)!!*x^(2n)]/(2n)!! arcsinx =arcsin0+∫<0,x>{1+∑(n=1~∞)[(2n-1)!!*t^(2n)]/(2n)!!}dt =x+∑(n=1~∞)[(2n-1)!!*x^(2n+1)]/[(2n)!!(2n+1)] arcsin1=1+(1/6)+(3/40)+…+(2n-1)!!/[(2n+1)(2n)!!]+o(1) 取前三项,则arcsin1≈1+(1/6))+(3/40)=1.2417 个位是精确值,随着取的项数的增加,近似程度会越来越高

early to bed and early to rise makes

记f(x)=(1-x)^(-1/2) f'(x)=1/2*(1-x)^(-3/2), f'(0)=1/2 f＂(x)=1/2*3/2*(1-x)^(-5/2), f＂(0)=1*3/2^2 f＂'(x)=1/2*3/2*5/2*(1-x)^(-7/2), f＂'(0)=1*3*5/2^3..f^n(0)=(2n-1)!!/2^n, (2n-1)!!=1*3*.

令f(x)=(arccosx)'=-1/√(1-x^2) f(0)=-1 则f'(x)=-x/(1-x^2)^(3/2)=x/(1-x^2)*f(x) f'(0)=0 即(1-x^2)f'(x)=xf(x) 两边求n阶导:(1-x^2)f^(n+1)(x)-2nxf^(n)(x)-n(n-1)f^(n.

幂级数是个总称,等价泰勒级数(taylor series) 即(x-a)^n的形式,是在x=a处展开,收敛区间为|x-a|

(arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-x^2)^n 【n从0到∞】=∑(-1)^n·x^(2n) 【n从0到∞】 两边积分,得到 arctanx=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1) 【n从0到∞】 泰勒公式 :在数学中,泰勒公.

(arctanx)'=1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-.arctanx = x - x^3/3 +x^5/5 - x^7/7 +..π/4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+.(arcsinx)' =1/√(1-x^2)=1+1/2x^2+(-1/2)(-3/2)/2*x^4+.,arcsinx=x+1/6x^3+3/20 x^5+..sinx=x-x^3/3!+x^5/5!.cosx=1-x^2/2!+x^4/4!..tanx=x+x^3/3+(2x^5)/15+(17x^7)/315+(62x^9)/2835+..

三阶泰勒展开式:思路方法:求导得根号(1/(1-x^2))=(1-x^2)^(-1/2)=1+1/2x^2+(-1/2)(-3/2)/2*x^4+.,就是利用(1+x)^a的Taylor展式,把x换成-x^2即可.有了上面的.

先对其求导然后展开,展开后在逐项积分

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + . (|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + . ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - . (x≤1)