求函数值域的12种方法
函数值域的若干求法点评
安徽 李庆社
函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
四．判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3
当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法
对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ）
A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）
（答案：D）。
六．图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为 －2x+1 (x≤1)
y= 3 (-1<x≤2)
2x-1(x>2)
它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
八．换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=1/2(t2-1)。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝
九．构造法
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.
点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多项式的除法
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）
十二．不等式法
例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0
1-x≠0
解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x/(2x－1)。 （y>1或y<0）
求函数值域的方法七种
求函数值域的十种常用方法_百度文库 https://wenku.baidu/view/251981dbed630b1c58eeb5ec.html
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最全函数值域的12种求法
求函数值域的几种常见方法
1直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；
二次函数的定义域为R
当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b??)/4a}；
当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b??)/4a}
例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]
②y=x??-2x+3∵1>0∴(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1即函数的值域是{y|y≥2}2．
二次函数在定区间上的值域(最值)：
①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次项系数1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函数
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次项系数1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数
所以f(x)min=f(3)=3
而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12]
3观察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域
∵-x??-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]
∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因为-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0
终于得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2
所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]
5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因为y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域
解y=3^x/（1+3^x）两边同乘以1+3^x
所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因为3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0<y<1值域为（0，1）
7判别式法求y=1/(2x??-3x+1)
解 ∵2x??-3x+1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
将函数变形可得2yx??-3yx+y-1=0当y≠0时,上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y??-8y(y-1)≥0
所以y≤-8或y≥0当y=0时，方程无解，身体y=0不是原函数的值
所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)
8换元法求y=2x－√（x-1)的值域
解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t??+1
所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8
因为t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞)
值域三角函数法、基本不等式法、导数法分别是高一下册，高二上册，高三的内容，在这里就不例举了
怎样求函数值域？
如何求函数的值域
一 相关概念
1、值域：函数 ，我们把函数值的集合 称为函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
3、值域与最值的联系与区别：
联系：若函数同时具有最大值b和最小值a，则值域为[a, b]；
区别：凡函数都有值域,但不一定有最值.
4、与最值有关的“恒成立”的意义：
f(x)≥a恒成立Û f(x)min≥a，f(x)≤b恒成立Û f(x)max≤b.
二 确定函数值域的原则
1、当函数 用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；
x0123
y=f(x)1234
则值域为{1，2，3，4}
2、 的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
3、 用解析式给出时函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。
三 基本函数的值域
1、一次函数 的值域为R；
2、二次函数
3、反比例函数 的值域为 ；
4、数函数 的值域为 ；
5、对数函数 的值域为R。
6，函数y=sinx、y=cosx的值域是
四 求函数值域的方法
1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；
2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；
例1. 的值域；
解： 画出图像（图略）从图可知 所以值域为 .
例2. 求 的值域；
解：设
3、换元法：
①
②
③
例3. 求函数 的值域
解：设 , , .
4、判别式法：形如 ；
例4 求函数 的值域；
解： 要上面的方程有实数根，
求出 ,所以函数的值域为
5、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
形如 的函数用反函数法求值域；例 求函数y= 值域。
6、分离常数法：形如 的函数也可用此法求值域；
例5求函数 的值域；
解：方法一：（反函数法）求出函数 的反函数为 ，其定义域为 ，所以原函数的值域为
方法二：（分离常数法）
7、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数y= ， ，的值域
8、数形结合法。例6求函数 （方法一可用到图象法）
方法二：（单调性）如果所给函数有明显的几何意义可借助几何法求函数的值域.
所以此函数的值域为
9、 基本不等式(均值不等式)法：
对于满足“一正、二定、三相等”的式子，可用此法.
10、 函数单调性法：
因为单调函数在定义域端点取最值，所以应用很广，有些用均值不等式等号取不到的，如f(x)＝ax＋ 可用单调性求解.
11． 导数法：
若y＝f (x)的导函数为y'＝f'(x)，令f'(x)＝0，求出极值，再与端点值比较，求出最值和值域. 导数法：若y＝f (x)的导函数为y'＝f'(x)，令f'(x)＝0，求出极值，再与端点值比较，求出最值和值域.
1.2. 分段处理法：
分段函数求值域先分段求出各段上的值域，再取其并集。
注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。