同一题中的无穷小替换的变量应该一致,“分子中的x替换成sinx ,分母中的sinx替换成x＂,这已经有两个变量替换了,违背了数学的原则问题..

当x→0时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 a^x-1~xlna e^x-1~x ln(1+x)~x (1+bx)^a-1~abx [(1+x)^1/n]-1~1/nx loga(1+x)~x/lna 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(也不是不能替换,但是有条件)

x->0时,＂-＂代表等价的意思:1)sinx - x - tanx - arcsinx - arctan x2)(1-cosx) - (x^2)/23)(e^x-1) - x - ln(1+x)4)[(1+x)^(1/n) -1] - x/n

把lnx做泰勒展开,或者,使用洛必达法则.

熟记常用等价无穷小量及其和差. 一般情形,使用洛必达(L\\'Hospital)法则,或者Taylor公式. 举例:x→0时,sinx-x的等价无穷小量? 方法一:设x→0时,sinx-x~Ax^k.

等价无穷小就是比值的极限趋于1.证明arcsinx / x的极限是1就可以了.用罗比达法则就行.

解:lim(x→0)[(1+x)^a/ax] =lim(x→0)[a(1+x)^(a-1)/a](洛必达法则) =lim(x→0)[(1+x)^(a-1)] =1 故当x趋于0时(1+x)^a~ax 两者为等价无穷小

用x的n次方来除,然后计算极限,极限存在即可证明出.如下:

除法式上下分别求微分,得出(1/1+x^2)/1,即1/1+x^2,又x→0,所以 lim(x→0)arctanx/x=1,即证.