高数问题求解
解：原方程化为：x[x^4-(5-k)]=x[x^2+√(5-k)][x^2-√(5-k)]=0;
因为方程有三个不同的实数根，当5-k>0时，满足这一条件。
得:k<5。
上题做错了，把k当作kx了。重新再做一次，依题意，原方程一定可以化作下列形式：
原式=(x-a)[x^2+b][x^2-c]=(x^3-ax^2+bx-ab)(x^2-c)=x^5-cx^3-ax^4+cax^2+bx^3-bcx-abx^2+abc=x^5-ax^4+(b-c)x^3+(ac-ab)x^2-bcx+abc;
对比原方程的系数：-a=0, b-c=0; ac-ab=0, -bc=-5; abc=0, 解的b=c=√5; abc=k=0;
当原方程可化为：x^5-5x+k=x(x^2+√5)(x^2-√5)=x[x+5^(1/4)][x-5^(1/4)](x^5+√5);
由此可见：当k=0时，函数有三个不相等的实数根，x1=0,x2=5^(1/4), x3=-5^(1/4)。
一道高数题
^代吉米多维奇《数学分析习题集》第2482题的公式
V = (2π/3)∫<α, β>r^3(θ)sinθdθ
得 V = (2π/3)∫<0, π/2>64(1+cosθ)^3 sinθdθ
= -(2π/3)∫<0, π/2>64(1+cosθ)^3d(1+cosθ)
= -(32π/3)[(1+cosθ)^4]<0, π/2> = 160π
一个数学分析问题
∫ (0,π/2) ln (b²cos²x) dx
=∫ (0,π/2) [ln(b²)+ln(cos²x)]dx
=2xlnb|(0,π/2)+2∫(0,π/2)ln(cosx)dx
考虑第二项
∫(0,π/2)ln(cosx)dx
=∫(π/2,0)ln[cos(π/2-t)d(π/2-t)
=∫(0,π/2)ln(sint)dt
=∫(0,π/2)ln(sinx)dx
∴∫(0,π/2)ln(sinx)dx
=∫(0,π/2)ln(cosx)dx
=∫(0,π/4)ln(cosx)dx+∫(π/4,π/2)ln(cosx)dx
=∫(0,π/4)ln(cosx)dx+∫(π/4,0)ln[cos(π/2-t)]d(π/2-t)
=∫(0,π/4)ln(cosx)dx+∫(0,π/4)ln(sint)dt
=∫(0,π/4)ln(cosx)dx+∫(0,π/4)ln(sinx)dx
=∫(0,π/4) [ln(cosx)+ln(sinx)] dx
=∫(0,π/4) ln[(sin2x)/2] dx
=∫(0,π/4) [ln(sin2x)-ln2] dx
=(1/2)∫(0,π/4) ln(sin2x)d(2x)-(π/4)ln2
=(1/2)∫(0,π/2) ln(sint)dt-(π/4)ln2
=(1/2)∫(0,π/2) ln(sinx)dx-(π/4)ln2
∴∫(0,π/2)ln(sinx)dx
=∫(0,π/2)ln(cosx)dx
=-(π/2)ln2
于是∫ (0,π/2) ln (b²cos²x) dx
=2xlnb|(0,π/2)+2∫(0,π/2)ln(cosx)dx
=πlnb-πln2
=πln(b/2)
求解一道数学分析的极限证明题
第一问和第二问证明如下，其中第二张图最后一步做完直接套第一问结论即可。