令y=c(x)*e^{x}则y'=[c'(x)+c(x)]e^{x} 带入y'-2y=e^{x}可得:c'(x)-c(x)=1 即d[c(x)+1]/dx=c(x)+1 积分得:c(x)+1=a*e^{x} 从而得原方程的通解为: y=[a*e^{x}-1]*e^{x}=a*e^{2x}-e^{x}

给你待定系数法,如下 y''-2y'+5y=0变形为: (y'+αy)'=-β(y'+αy) 可知:α+β=-2,αβ=5(解得:α=-1+2i,β=-1-2i,先不带入) 从而有:y'+αy=A*e^{-βx} 令y=u*e^{-βx}为上面方程.

y' =(1/5)(3x²+5x) y= (1/5)∫(3x²+5x)dx = (1/5)( x³ + 5x²) + C = x³/5 + x² + C

求导

1.(c)`=0 (c为常数)2.(x^a)`=ax^(a-1) (a∈R) 3.(a^x)`=a^(x)lna (a≠1且a>0)4.(e^x)`=e^x 5.(㏒a(x))`=1/(xlna) (a≠1且a>0) 6.(lnx)`=1/x7.(sinx)`=cosx 8.(cosx)`= -sinx 9.(tanx)`=1/cos^2.

基本函数求导公式:y=x^n, y'=nx^(n-1) y=a^x, y'=a^xlna y=e^x, y'=e^x y=log(a)x ,y'=1/x lna y=lnx y'=1/x y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=tanx y'=1/cos²x y=cotanx y'=-1/sin²x y=arcsinx y'=1/√(1-x²) y=arccosx y'=-1/√(1-x²) y=arctanx y'=1/(1+x²) y=arccotanx y'=-1/(1+x²) 希望对您有所帮助.

隐函数求导法则:对于一个已经确定存在且可导的情况下,我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导.在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有 y' 的一个方程,然后化简得到 y' 的表达式.简单地说把它看成多元函数求导就好理解多了

二阶微分方程例题

u''+2u=0的特征值非1 可设 u''+2u=e^x 有特解 u=a e^x ,代入原方程得:(a+2a)e^x=e^x a=1/3 所以 原方程有特解 u=(1/3) e^x

求下列微分方程的通解 1.,特征方程:r²+4r+1=0,特征根:r1=-2-√3,r2=-2+√3,y''+4y'+y=0的通解为y=C1e^(-2-√3)x+C2e^[(-2+√3)x] 2.特征方程:2r²-2r+5=0,特征根:r1=(1-3i)/2],r2=(1+3i)/2,2y''-2y'+5y=0的通解为y=e^(x/2*{C1cos(3x/2)+C2sin(3x/2)} 3.特征方程:r+25=0,特征根:r1=-25y'+25y=0的通解为y=Ce^(-25x)

答案是a. 根据线性方程的叠加原理,原非齐次线性方程的特解是y''+y=x^2+1的特解与y''+y=sinx的特解之和. 因为0不是特征方程的根,所以y''+y=x^2+1的特解设为ax^2+bx+c. 因为±i是特征方程的单根,所以y''+y=sinx的特解设为x(acosx+bsinx). 所以,原非齐次线性方程的特解设为ax^2+bx+c+x(acosx+bsinx).

二阶非齐次微分方程

通解为Ax²+Bx+C

解 求特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0 解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数,则y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2为实数,则y=(c1+xc2)*e^(r1*x) 若r1,r2即a±bi为复数, 则y=e^(ax)*(c1*cosbx+c2*sinbx)

对于n阶齐次线性微分方程,注意,不一定是常系数,也不一定是二阶,但一定是齐次.因为右边是0,所以如果y1,y2,……yn是方程的解,c1y1+c2y2+……cnyn也是方程的解.自己去证明.对于你说的二阶常系数齐次线性微分方程,deltay2=(e^alphax)*(cos betax-i*sinbetax),当然有y1=1/2*y1+1/2*y2是方程的解,y2=1/2i*y1+(-1/2i)y2也是方程解.y1和y2非线性相关,可得通解.打字不易,记得给分啊.

微分方程虚根特解

特征方程为r^4+8r²+16=0(r²+4)²=0得r²+4=0即r=2i, -2i, 各为2重根.故通解为y=(C1x+C2)cos2x+(C3x+C4)sin2x

和实根求法差不多,只是特征方程的根判别式<0将其当成大于0平方根后面加上虚数标志i 例如特征方程为r^2+2r+2=0则根为r=-1+i或=-1-i 因为在虚数中,-1也可开平方,平方根为i或者-i.

特征根法:特征方程为r+1=0,得r=-1即齐次方程的通解为y1=Ce^(-x)设特解y*=ax+b代入原方程得:a+ax+b=2x对比系数得:a=2, a+b=0, 解得: a=2 ,b=-2即y*=2x-2因此原方程的通解y=y1+y*=Ce^(-x)+2x-2

二阶微分方程求解

求下列微分方程的通解 1.,特征方程:r²+4r+1=0,特征根:r1=-2-√3,r2=-2+√3,y''+4y'+y=0的通解为y=C1e^(-2-√3)x+C2e^[(-2+√3)x] 2.特征方程:2r²-2r+5=0,特征根:r1=(1-3i)/2],r2=(1+3i)/2,2y''-2y'+5y=0的通解为y=e^(x/2*{C1cos(3x/2)+C2sin(3x/2)} 3.特征方程:r+25=0,特征根:r1=-25y'+25y=0的通解为y=Ce^(-25x)

把y2(x),y2'(x),y2''(x)代入方程,得y1(x)C'(x)+(2y1'(x)+p(x)y1(x))C'(x)=0.这是个可降阶的二阶微分方程,不显含y.令u=c'(x),则有du/u=-(2y1'+p(x)y1)/y1dx,积分lnu=-2lny1-∫p(x)dx,所以c'(x)=u=1/y1^2*e^(-∫p(x)dx),所以c(x)=∫1/y1^2*e^(-∫p(x)dx) dx.

微分算方法应用于寻求非齐次微分方程特解,相应的齐次微分方程的由特征方程的一般解(第二阶或二阶可转化成)和变量(第一级分离,那么常数的方法来解决比较简单的)求解非齐次方程的常见变异. 2,公式变换:使..将改写微分方程形式,即特定的解决方案. 这样的结果:常系数 微分方程,直接以重写指数D的推导中,常系数不变,就可以了.