高数,等价无穷小,为什么这题里面tanx可以用x替换,sinx不直接用x替换呢?

lim(x→0) (tanx - sinx)/(sinx)^3= lim(x→0) (tanx - sinx)/x^3,分母等价无穷小= lim(x→0) sinx(1/cosx - 1)/x^3= lim(x→0) (sinx)/x * (1 - cosx)/(x^2 * cosx)= lim(x→0) 2[sin(x/2)]^2/x^2= lim(x→0) [sin(x/2)]^2/(x/2)^2 * 1/2= 1/2

如题,为什么不能把tanx ,sinx都换成x 或者分开算?

因为要分开 则两部分极限都必须存在 而这里tanx/(sinx)3和sinx/(sinx)3都趋于无穷 即极限不存在 所以不能分开

tanx和sinx的等价无穷小都是x,那这题为什么不等于0?

不是0,虽然 当X趋近于0时, sinx tanx都是x的等阶无穷小,但是tanx-sinx是比x更高阶的无穷小. 我大致写了下步骤供你参考下.

等价无穷小替换 在任何时候都能替换吗 例如limx1. sinx能替换成x吗

不可以,必须是两个等价的无穷小可以代换

等价无穷小的替换,sinx~x,tanx~x,则tanx~sinx.对不对

等价无穷小的替换,sinx~x,tanx~x,则tanx~sinx这个是对的,不过要在x~0的情况下

高等数学为什么第三小问不能直接把tanx - sinx换为x - x?

分子等量代换,把x^3当作高阶无穷小给扔了,这是不正确的!因为分母里面也有(sinx)^3~x^3,就是x^3.可以使用泰勒展开式,也可使用洛必达法则来做!

这个为什么是错的,为什么第二步不能用等价无穷小?求指教

分子之和中x²-sin²xcos²x是个加减法的式子.而等价无穷小的使用都是在乘除法中使用.这点在学习等价无穷小的时候,是明确说明了的.也就是说,你把x²-sin²xcos²x中的sin²x等价为x²,是不恰当的使用等价无穷小.结果不正确也是正常的.始终要记住等价无穷小的使用范围.

高数问题:为什么此时tanx不能等价x了?

理解它需要等价无穷小的定义 当x趋近于x0时, A + o(A) = B ,其中A、B为无穷小,o(A) 为比A更高阶的无穷小,此时,称A与B为等价无穷小;根据定义 当x趋近于0时,...

加减中不是不能使用等价无穷小替换嘛就像tanx - sinx,这道例题为什么可以

不是加减中不能使用等价无穷小替换.根据极限的四则混合运算规则可知,当参与加减运算的两部分的极限都存在时,可以使用等价无穷小替换.参考下图说明:

高数问题等价无穷小的替换条件是什么 为什么sinx可以等价于x而不是2x

要无穷小且等价才能在乘除运算中替换.lim<x→0>sinx/x = 1, sinx 是无穷小,且与 x 是等价无穷小,故可代换.lim<x→0>sinx/(2x) = 1/2 , sinx 是无穷小,但与 2x 不是等价无穷小,故不可代换.