- 用拉普拉斯变换怎样求微分方程?
- 自控原理 拉氏变化法求微分方程，设初始条件为零。 Tx'(t)+x(t)=r(t),r(t)分
- 拉普拉斯变换求解: dx/dt=k0-kx X(t) | t=0 =0
- 用拉普拉斯变换解下列微分方程y''(t)+9y(t)满足初始条件y(0)=0,y'(0)=3的解
用拉普拉斯变换怎样求微分方程?
原发布者:a200710412114
(1) 例2求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解 L[at]=∫0+∞ate-ptdt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/pe-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-ptdt 根据罗必达法则,有 limt0+∞(-at/pe-pt)=-limt0+∞at/pept=-limt0+∞a/p2ept 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有limt0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-ptdt =-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0)
(2) 例3求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的
自控原理 拉氏变化法求微分方程，设初始条件为零。 Tx'(t)+x(t)=r(t),r(t)分
% 系统传递函数
G=tf([3 2],[1 5 6])
% (1) bode图
figure(1)
bode(G)
% (2) 零极点分布图
figure(2)
pzmap(G)
% (3) 单位阶跃响应和单位脉冲响应
figure(3)
subplot 211
step(G)
subplot 212
impulse(G)
% (4a) 拉氏逆变换法求f(t)=exp(-2*t)*u(t)的输出
figure(4)
F=laplace(sym('exp(-2*t)'))
Y=sym('(3*s+2)/(s^2+5*s+6)')*F
y=ilaplace(Y)
ezplot(y,[0 6])
axis auto
% 如果Y的拉式逆变换求不出，可用impulse求数值解
% [n,d]=numden(Y);
% impulse(tf(sym2poly(n),sym2poly(d)))
% (4b) 使用lsim函数求线性系统在任意输入下的响应
figure(5)
t=0:0.1:6;
f=exp(-2*t);
lsim(G,f,t)
拉普拉斯变换求解: dx/dt=k0-kx X(t) | t=0 =0
dx/dt = k0 - kx 对方程做L式变换
sX(s) = k0/s - kX(s)
(s-k)X(s) = k0/s
X(s) = k0/s(s-k) = (k0/k)[1/(s-k) - 1/s]
查Laplace反变换表解出：
x(t) = (k0/k)[e^kt - 1]
且满足初始条件：x0 ＝0
用拉普拉斯变换解下列微分方程y''(t)+9y(t)满足初始条件y(0)=0,y'(0)=3的解
对左右两侧分别拉普拉斯变换，0就是0 s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+2sY(s)-2y(0)+Y(s)=0 先设y'(0)=a (s^2+2s+1)Y(s)=a Y(s)=a/(s+1)^2 我们知道L{t^n}=n!/s^(n+1)，并且我们知道L{e^(at)f(t)}=F(t-a) 于是，就有y=a*e^(-t)*t 根据y(1)=2，得a=2e y=2t*e...