- 关于分部积分法证明泰勒积分余项？？图中红线不分看不懂，求具体方法和过程！！谢大神
- 高等数学关于泰勒展开式的证明题求解……
- 高数，提示用泰勒公式展开证明。也可以证明这题是错题，并改正这题中的条件再证明。
- 一道关于泰勒公式的证明题，步骤我看不懂是怎么来的
关于分部积分法证明泰勒积分余项？？图中红线不分看不懂，求具体方法和过程！！谢大神
注意到分部积分公式：
有几个要点需要注意，第一个是x0处r（x0）以及n阶导数为零；第二个就是分部积分中的函数对应关系了，第三个是对于定积分而言，要特别注意x和x0都是常数
因为d(t)=d(t-x),x为常数，所以第一个红线处的第一个等号成立。
令u(t)=r'(t),v(t)=t-x,利用上面的公式有：
所以第一个红线处的第二个等号成立
第二个红线处，实际上d[(t-x)^2]=2d(t-x)dt=-2(x-t)dt,就可以得到了
高等数学关于泰勒展开式的证明题求解……
由于e^x=∑{n=0,∞}x ⁿ/n!，-∞<x<+∞
当0<x≤1/3时，若取前4项之和作为e^x的近似值，则误差
|r₄|=x⁴/4!+ x⁵/5!+ x⁶/6!+...
< x⁴/4!+ x⁵/4!+ x⁶/4!+...
= x⁴/4!*(1+x+x²+...)
=1/24* x⁴/(1-x)
令F(x)= x⁴/(1-x)，0<x≤1/3，则F’(x)=[4*x³*(1-x)+ x⁴]/(1-x)²>0
故F(x)单调增加，有F(x)≤F(1/3)，因此
|r₄|<1/24* (1/3)⁴/(1-1/3)=1/(16×81)= 8/(8×16×81)= 8/10368<8/10000=8*10^(-4)
高数，提示用泰勒公式展开证明。也可以证明这题是错题，并改正这题中的条件再证明。
结论应该是：
在开区间（-1，1）内至少有一点x0，使得f(x)在该处的三阶导数为3
证明如下：
证明：
将f(x)在x=0处展开成带拉格朗日尾项的泰勒级数
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!
=f(0)+f''(0)x²/2!+f'''(η)x³/3!, η ∈(0,x) （∵f'(0)=0）
代入x = -1 , 1, 它们分别相应有ξ1, ξ2
∴0=f(-1)=f(0)+f''(0)/2!-f'''(ξ1)/3!, -1<ξ1<0
1=f(1)=f(0)+f''(0)/2!+f'''(ξ2)/3!, 0 <ξ2< 1
两式相减，得
f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6
∴存在两种情况：
a). f'''(ξ1)=f'''(ξ2)=3
b). f'''(ξ1)和f'''(ξ2)一个大于3 ，一个小于3
又函数 f'''(x) 连续
∴可由介值定理知
至少有一点x0∈(ξ1,ξ2)，使得f'''(x0)=3
证毕
一道关于泰勒公式的证明题，步骤我看不懂是怎么来的
证明：将f(x)在 1/2 处展开得
证明：证明：f(1)=f(x0)+f’(x0)(1-x0)+(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 ξ1∈(x0,1)
f(0)=f(x0) +f’(x0) (-x0)+ (f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 ξ2∈(0, x0)
由f(0)=f(1)可得
f’(x)= (f’’(ξ2)/2!)( x0)2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)2
由于x0∈（0，1）时，x02+ (1-x0)2<=1，因此
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ
f(x)在[0,1]上有二阶连续的导数,
所以 Ⅰf’’(ξ2)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰ(f’’(ξ1)Ⅰ<=maxⅠf’’(x)Ⅰ
Ⅰf’(x)Ⅰ=Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2 -(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2Ⅰ<= Ⅰ(f’’(ξ2)/2!)( x0)^2Ⅰ +Ⅰ(f’’(ξ1)/2!)(1-x0)^2 Ⅰ<= 1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ( x0)^2+1/2 * maxⅠf’’(x)Ⅰ(1-x0)^2=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ[x0^2+ (1-x0)^2]
<=(1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ
上式对一切x0∈（0，1）成立，由f’(x) 在[0,1]上的连续性知道，对一切x0∈（0，1），上式也成立，从而
max Ⅰf’(x)Ⅰ <= (1 / 2)maxⅠf’’(x)Ⅰ
这次能看懂了吧~~~~~~~~估计看不懂是不等式吧~~~~~~~~