R1+r2 R3-2r2 也只能得出两个0,这样应该已经是最简单的算法了.因为特征值一般比较简单,所以三次方程也可以快速写成因式相乘的形式的.这题求得的三次方程式入^3+6入^2+11入+6=0.通过特殊值,可以轻易知道入=-1时方程成立.那么三次方程肯定能抽出(入+1) 可以变为入(入^2+6入+5)+6(入+1)=0 (入+1)(入^2+5入+6)=0 (入+1)(入+2)(入+3)=0 求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:第一步:计算的特征多项式;第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值.第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组.

一、基本概念与结论 定义1 设是数域上的一个向量空间, 是 上的一个线性变换,,如果存在非零向量,使得,则称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.

尝试x=-1,发现满足方程,接下来就简单了 x^3-x^2-13x-10=x^3+x^2-3x^2-3x-10x-10=(x+1)(x^2-3x-10)=(x+1)(x+2)(x-5) 于是特征值为 5 -1 -2

最好利用行列式的性质提出一个λ的一次因式 否则3阶以上多项式不容易分解

题:矩阵a=0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0 求矩阵a的特征值与特征向量.解:特征矩阵te-a= t 0 0 -1 0 t -1 0 0 -1 t 0-1 0 0 t |te-a|=(tt-1)^2 注:这个可以用第一列进行代数余子式展开,看容易看出解来.也可以用第二三行用二阶子式及其余子式的乘积来计算,也很方便.于是其特征值有四个,分别是 1,1,-1,-1 特征矩阵te-a的四个解向量,就是相应的特征向量.略.

因为A的特征值为1,1和-2故|A-E3|,|A+2E3|,都等于零,(因为特征值就是|A-λE|=0的根)而|A^2+3A-4E|=|A+4E||A-E|=0

才3阶矩阵而已, 而且求特征多项式的时候6项只有1项是多项式乘法, 其它的都是数. 可以看一个简单的例子6 6 26 4 32 3 6 同样是整数对称矩阵, 不用算就知道特征值都.

用初等行变换,或者列变换,化简一下,最好化成上三角或下三角,化不了三角,可以尽可能化成很多的0,然后按照一行(或一列)展开即可

求 λ-2 2 02 λ-1 20 2 λ 行列式值为0的解.得特征值为 -2,1,4.对λ^3-3λ^2-6λ+8进行因式分解.一般求特征值时的因式分解步骤都不难, 上式容易看出1是它的一个零点,提取出λ-1,得到 λ^3-3λ^2-6λ+8=(λ-1)(λ^2-2λ-8)

det(A-λI)=0 但是取巧的算法是设特征向量为(a,b,c,d) 那么 a+b+c+d=λa ---(1) a+b-c-d=λb----(2) a-b+c-d=λc----(3) a-b-c-d=λd----(4)(1)+(2)+(3)+(4)得,4a = λ(a+b+c+d) 代入(1)得λ*λa = 4a,即λ=2或-2 之后就是求a:b:c:d了.当λ=2时,可得a=b+c+d.所以,以(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1)为基的空间中的向量皆为特征向量.当λ=-2时,可得b=-a, c=-a, d=-a.所以特征向量为 (1, -1, -1, -1)